$p$ asal iken $2^p-1$ şeklinde elde edilen asal sayılara $Mersenne Asalı$ denir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu tarife uygun değildir ?

Question

$A)7$
$B)127$
$C)511$
$D)31$
$E)2047$

Answer 1

"$2^n-1$ seklinde yazilan ve asal olan sayi" Mersenne asali.

$2^n-1$'in asal olmasi icin $n$ sayisinin da asal olmasi gerekir. Eger $n=ab$ seklinde ($a,b>1$) olarak yazilabiliyorsa $2^a-1$ ve $2^b-1$ bu sayiyi boler. Bunu gormek icin de $(x^{a})^b-1=(x^{a}-1)(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\cdots+1)$  aciliminda $x=2$ koymak yeterli.

Simdi bu sayilardan sadece $C$ secenegindeki us ($9$) asal degil. Yani bu sayi kesinlikle asal olamaz.

Not: Ayrica diger uslerin asal olmasi sayinin asal olacagi anlamina gelmez ki asal olmayan ornekleri de mevcut. Bizim yukarida ispatladigimiz eger Mersene asali ise us asal olmali. Fakat ussun asal olmasinin sayinin da asal olacagini garantiledigini ispatlamadik. Zaten ispatlayamayiz da, cunku yanlis. Fakat bu seneceklerdeki asal usler icin sayilar da asal geliyor. 

Ters ornek olarak da: $2^{23}-1=8388607 = 47\times178481$.

Comments

Elinize sağlık hocam :) 

Answer 2

$7=2^3-1$, $3$ asaldır.

$127=2^7-1$, $7$ asaldır.

$511=2^9-1$, $9$ asal değildir.

$31=2^5-1$, $5$ asaldır.

$2047=2^{11}-1$, $11$ asaldır.

Comments

Harika :) Hocam tek sorun üsleri nasıl düşüncez onun bir yöntemi var mı ?

---

$7=8-1=2^3-1$

$2047=2048-1=2^{11}-1$

vb

---

Hocam oralar tamam :) orayı anladımda sayıyı bulmak için mesela $2^{11}$ değerini kısa yoldan nasıl hesaplarım

---

$2$'nin üslerini de bilin artık. :)