Fonksiyonun tanim araligi

Question

$f(x)=\int(x+2x^2+3x^3+4x^4+...)dx$ ise $f(x)$ fonksiyonun tanim araligini bulunuz.

Comments

$4x^4$ mu olacak? Yani terimler $nx^n$?

---

Evet, duzeltiyorum..

---

Bir de $f$ nasil bir fonksiyon, bir hata mi var. En son $f(x)=\cdots+c$ gibi bir degiskenle geliyor. Fakat $c$ degisirse, fonksiyon bir noktada sonsuz deger alabilir. Sabit bir $c$ icin olmasi gerekir? Bunu sabitlemek icin de integrali $t$'ye gore ve sinirlari da sabit bir $x_0$'dan $x$'e goturmemiz gerekmez mi, yani bu sekilde yazmamiz.

---

c sabitse neden sonsuz deger alsin.. $c\in R$

Answer 1

$$\begin{align}f(x)&=\int(x+2x^2+3x^3+4x^4+...)dx\\&=\int\left(\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\right)dx\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int nx^ndx\right)\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n+1}}{n+1}\end{align}$$

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+2}}{n+2}\frac{n+1}{nx^{n+1}}\right|=|x|<1\implies-1<x<1$$

$x=-1:\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{n+1}$      iraksak

$x=1:\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}$          iraksak

Fonksiyonun tanim araligi $x\in (-1,1)$ olur.