$f(k)=8$ yapan kaç tane $k$ tamsayısı vardır?

Question

Pozitif tam sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu, $f(1)=4$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $f(2n)=f(n)$ ve $f(2n+1)=f(n)+2$ koşullarını sağlamaktadır. $2014$'ten küçük kaç $k$ pozitif tam sayısı için $f(k)=8$'dir?

Comments

Sorunun cevabı  iki  mi, sendeki cevap  aynı mı?

---

$f(1)=4 \\ f(2)=f(1)=4 \\ f(3)=f(1)+2=6 \\ f(4)=f(2)=4 \\ f(5)=f(2)+2=6 \\ f(6)=f(3)=6 \\ f(7)=f(3)+2=8 \rightarrow k_1=7 \\ f(8)=f(4)=4 \\ f(9)=f(4)+2=6 \\ f(11)=f(5)+2=8 \rightarrow k_2= 11 \\ f(13)=f(6)+2=8 \rightarrow k_3=13 \\ f(15)=f(7)+2=10 \\ \vdots$

Yaz yaz bitmiyor bu.

---

Sorunun cevabi $165$ deneyerek bulmaya kalkarsan Allah yardimcin olsun.

---

Tebrikler, cevabınız 165 doğru.

Answer 1

$k$ sayısı şöyle olmalı: $k=2^al$ olsun, $l$ tek. Bu durumda $f(k)=f(l)$ olur. $l-1=2^bm$ olsun, $m$ tek. Bu durumda $f(m)=f(k)-2=6$ olur. Tekrar uygularsak $m=2^cn$, $n$ tek için $f(n)=4$ olur. Bu şartta sadece $2$'nin kuvvetleri olabilir, yani $n=1$ olmalı. Şimdi terse dönüp $k$ sayısının hangi formda olduğunu görebilirsiniz ve sayısını da rahatlıkla bulabilirsiniz.

Answer 2

funky2000 nin cevabı 165 ti. Doğru cevaptı.f(k)=8 eşitliğini sağlayan 165 tane k değerinin listesi şöyledir:7,11,13,14,19,21,22,25,26,28,35,37,38,41,42,44,49,50,52,56,67,69,70,73,74,76,81,

82,84,88,97,98,100,104,112,131,133,134,137,138,140,145,146,148,152,161,162,

164,168,176,193,194,196,200,208,224,259,261,262,265,266,268,273,274,276,280,

289,290,292,296,304,321,322,324,328,336,352,385,386,388,392,400,416,448,515,517,

518,521,522,524,529,530,532,536,545,546,548,552,560,577,578,580,584,592,608,

641,642,644,648,656,672,704,769,770,772,776,784,800,832,896,1027,1029,

1030,1033,1034,1036,1041,1042,1044,1048,1057,1058,1060,1064,1072,1089,

1090,1092,1096,1104,1120,1153,1154,1156,1160,1168,1184,1216,1281,

1282,1284,1288,1296,1312,1344,1408,1537,1538,1540,1544,1552,1568,1600,1664,1792

Yani f(7)=8, f(11)=8, f(13)=8, f(14)=8,....