Question

$n^4+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $f(n)$ olmak üzere, $f(1)+f(2)+...+f(2014)$ toplamının $8$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Comments

$n^4+1$ sayısını birkaç $n$ için denedim. Hepsi asal çıkınca asal kabul edip soruyu çözdüm doğru da çıktı fakat $n^4+1$ sayısı her zaman asal olur mu? Nasıl gösterebiliriz?

---

$n^4+1$ sayısı her zaman asal olmaz. Örnekler:

n, $n^4+1$

3 82
5 626
7 2402
8 4097
9 6562

---

Doğru hata yapmışım ama yine de doğru cevap çıkmış. Sorunun çözümünü merak ettim şu an.

---

En küçük asal sayıların toplamı= 128741

Bu toplamın 8'e bölümünden kalan=5

---

Cozumu de yazabilir misin?

---

2014'e kadar $n^4+1$ hesaplanır. Bulunan sayıların asal sayılara bölünüp bölünemediği kontrol edilir.

EXCEL ile n=1 den n=2014'e kadar tüm doğal sayılar için $n^4+1$ bulunabilir. En küçük asal sayıdan başlayarak  2,3,5,7 ... sayılarına bölünüp bölünemediği kontrol edilir. $n^4+1$ sayılarını elle hesaplamak için harcanacak zaman boşa geçmiş sayılır. EXCEL ile en çok 1 dakika alır. Sütunu seri doldur, formülü sonuna kadar kopya çek.

---

Sen bilgisayar olimpiyatcisi misin? Tubitak matematik olimpiyati sorusuydu bu yani cozenlerin excel kullanma sansi oldugunu sanmiyorum.

---

Şu anda sınavda değiliz. Sınav sorusu olduğunu baştan söyleseydin olmaz mıydı?

Ona göre sana cevap verilirdi. Kaldı ki sınav sorusuysa cevabını  internette, 

örneğin ALTIN NOKTA  olimpiyat kitaplarında bulabilirsin.

---

Bu arada cevap $1$ degil $5$ olacakmis cevap anahtarinda oyle yaziyor.

Answer 1

Biraz geç ama cevap yazalım.

$n$ sayısı tek olduğunda $n^4 + 1$ ifadesi çift sayı olacağından $f(n)$ ifadesinin $2$ olacağı gayet açıktır.

yani bu demektir ki $f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+.....+f(2013)$ toplamı $1007.2 = 2014$ olacaktır. Fakat çift sayılar için sorun baya büyük.

Ben ilk olarak $n^4+1$ ifadesini çarpanlara ayırmaya çalıştım. Baktım ki tam katsayılı çarpanlarına ayrılamıyor. Yapacak başka bir şey düşünmeye başladım.

$Tanım$ : Küçük fermat teoremi

$OBEB(a,b) = 1$ ve $p$ asal sayı olmak şartıyla $a^{p-1} = 1 ( mod p)$ denkliği sağlanır.

Bizim aradığımız şey $n$ çift sayı iken $n^4 + 1 = 0 (mod f(n))$  denkliğinin sağlanmasıdır. Burada biz denkliği $n^8 = 1 (mod f(n))$  şeklinde düzenleriz. Fermat teoreminden $n^{f(n)-1} = 1 (mod f(n))$ olması gerektiği ortaya çıkar. Yani $n$ çift sayı iken $f(n) = 8k+1$ şeklinde olacaktır.

Buradan $f(2)+f(4)+.....+f(2014) = 8k + 1007$ yani $8$ ile bölümünden kalan $7$ olacaktır. Diğer toplamı da eklersek

$f(1)+f(2)+....+f(2014) = 7 + 2014$ olacaktır ki bu toplam mod 8 de 5 e denktir.

Comments

Çok teşekkürler Doğukan, emeğine sağlık :)

---

Rica ederim :) :)