Question

R üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını r ise içteğet çemberinin yarıçapını göstersin $R\geq 2r$ olduğununu gösteriniz

Answer 1

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarı çapının en büyük ve dış teğet çemberinin yarı çapının en küçük olabilmesi $|AB|=|AC|=|BC|$ yani $ABC$ üçgeni eşkenar üçgen olmalıdır. Bu durumda $G$ noktası hem çevrel çemberin hem de iç teğet çemberin merkezidir, ayrıca $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezidir. Bu durumda $A$ noktasından $BC$ doğrusuna $D$ doktasından bir dikme indirirsek $|BD|=|CD|$ olur. Ayrıca $|AG|=2.|GD|$ olduğu için $R=2r$ olur. Eğer eşkenar üçgen bozulursa bu sefer iç teğet çemberin yarıçapı küçülür, çevrel çemberin yarıçapıysa büyür. Yani $R=2r$ eşitliği yerini $R>2r$ eşitsizliğine bırakır. Yani her koşulda $R\geq2r$ olmalıdır.

Answer 2

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi O, içteğet çemberinin merkezi I ve a kenarına dıştan teğet çemberin merkezi de $I_a$ olsun. Ayrıca çevrel çember yarıçapı R, içteğet çemberin yarıçapı r ve dış teğet çemberin yarıçapı  $r_a$ ise; O zaman şu bagıntılar doğrudur.

1.) $ |OI|^2=R^2-2Rr $.

2.) $ |OI_a|^2=R^2+2Rr_a $.

Birinci eşitlikten $ |OI|^2=R^2-2Rr \geq 0$.  $ R^2-2Rr \geq 0$. ve $ R \geq 2r$ bulunur.