Question

a,b,c pozitif reel sayılar ve $abc=1$ olmak üzere $a+b+c \le a^2+b^2+c^2$ olduğunu kanıtlayınız

Answer 1

Eger direk Cauchy-Schwarz kullanmazsak:

1) $x=\frac{a+b+c}{3}$ olsun. o halde $x \geq \sqrt[3]{abc}=1$ (A.O,G.O) 

2) simdi $a=x+s$, $b=x+t$, $c=x+u$ diyelim (yani $s+t+u=0$). O halde

$a^2+b^2+c^2= 3x^2+s^2+t^2+u^2+2(s+t+u)x \geq 3x^2 \geq 3x=a+b+c$.

Comments

$abc=1$'i nerde kullandik diye merak eden olursa $x \geq 1$ oldugundan $3x^2 \geq 3x$ diyebildik.

Ek olarak da: $abc \geq 1$ olsa yine ispat calisir.

Son ek olarak da: eger pozitif sayi kisitlamasi olmasa esitsizlik yine dogru.

---

çözüm gayet güzel olmuş

---

Pozitif sayı sınırlaması olmassa başka bir çözüm yapmak gerekir ama (doğruysa ) çünkü ortalamar pozitif sayılarda kullanılıyor bildiğim kadarı ile

---

onu da ekleyeyim: diyelim ki iki tanesi negatif olsun.. Yukaridaki esitsizlikten

$a^2+b^2+c^2 \geq |a|+|b|+|c|$ oldugunu biliyoruz cunku $|a||b||c|=1$ ve pozitifler, ve de 

$ |a|+|b|+|c|>a+b+c$ olur.

---

çok iyi oldu :)