Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
5 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

f, [0,a] kapalı aralığında sürekli, kesin

azalan ve f(0)=b,f(a)=0 olacak şekilde bir fonksiyon olsun.

O zaman a0f(x) dx=b0f1(x) dx

olduğunu gösterin.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Wikipedia'dan asagidaki ilk resmi aldim. Sekilde f fonksiyonu artan, fakat anlasilmasi icin koyuyorum. Eger bu azalan olursa sekil ikinci resme benzer olur. Bu soruda sunu deriz: ha alani x'e gore taramisiz, ha y'ye gore. Olay bu kadar basit.

Eger a,b,c,d0 olacak sekilde ilki gibi alanimizi cizersek, fonksiyon [a,b] araliginda azalan olsun, f(a)=c ve f(b)=d olsun.  Eger (ba)f(b)=(f(a)f(b))a (yani (ba)d=(cd)a) olursa (ki soruda da bu saglaniyor) x'e gore taramak ile y'ye gore taramak arasinda bir fark olmaz. Aslinda yukaridaki esitlik sadece dikdortgenlerin alanlarinin esitligi. 

image

image


(25.5k puan) tarafından 

Bunun bir nedeni de fonksiyonla tersinin (eger varsa) her zaman y=x  dogrusununa gore simetrik olmasidir.


image

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Analiz ile İspatı: 

Belirsiz İntegral tanımından (f(x)dx=F(x)+C olmak üzere):  f1(x) dx=xf1(x)F(f1(x))+C

olduğu kolayca görülür. Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoremini kullanarak

b0f1(x) dx=xf1(x)|b0F(f1(x))|b0=F(a)F(0)=a0f(x) dx

elde  edilir.

(6.2k puan) tarafından 

Aslında burada örtülü olarak f1 in türevlenebildiği varsayımı var ama o olmadan da doğru olacağı Sercan ın çözümündeki gibi bir şekilden (veya integral tanımdan) gösterilebilir.

güzel çözüm ama kendim nasıl yaparım diye denedim, 1. eşitlik olan

f1(x).dx=x.f1(x)F(f1(x))+C  'ı yapamadım


f(x)=y gibi düşünüp sol tarafı f1(x).dx=x.dx=x2/2+C yaptım

sağ taraf ise;

x.f1(x)F(f1(x))+C=x2F(x)+C  oldu ve eşitledim.

x.dx=x22=x2F(x)+C     dedim   eşitliği görmek için türev aldım

x=2xF(x)                (f(x)dx=F(x)+C) varsayımınızdan ötürü

x=f(x) buldum (ve tabiki hatalı)



2.denememde bunlara girmeden ;

f1(x).dx=x.f1(x)F(f1(x))+C  bu ıfadenın turevını aldım

f1(x)=f1(x)+x(f1(x))F(f1(x)).(f1(x)) oldu ve düzenledim;


x(f1(x))=F(f1(x)).(f1(x))          hertarafı  (f1(x))'a bölüp sadeleştirebilir miyiz? evet ise devam ediyorum sadeleştirip;

x=F(f1(x)) burada ne yapmam gerektiğini bilmiyorum.

f(x)dx=F(x)+C tamam ama 

f1(x)dx'in F cinsinden eşiti nedir?

f(x)dx=F(x)+C olması F(x)=f(x) demektir

ddx(xf1(x)F(f1(x))+C)=f1(x)+x(f1)(x)F(f1(x))(f1)(x)=f1(x)+x(f1)(x)f(f1(x))(f1)(x)=f1(x)+x(f1)(x)x(f1)(x)=f1(x)


F(f1(x))=f(f1(x))  demekten şüphe etmiştim bu eşitlik her zaman sağlanır mı? ilginiz çok teşekkür ederim iyi günler sayın Hocam.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,846 kullanıcı