Hastanede karışan bebekler

Question

Bir hastanede $n$ tane anne doğum yapar ve $n$ tane bebekleri olur. Ancak bebekler annelere dağıtılırken her bir bebek yanlış anneye verilir. Yani kimse kendi çocuğunu alamaz. Bu bebekleri tekrar toplar ve annelere rastgele dağıtırsak, doğru bebeği alan anne sayısının beklentisi kaç olur? Yani, 'ortalama' kaç anne kendi bebeğini alır?

$Fikir :$ $n$ elemanlı bir kümeden kendisine giden permütasyon fonksiyonları düşünelim. Yani anne ve bebeği aynı eleman gibi görelim. Başta elimizde hiçbir elemanı kendisine götürmeyen bir fonksiyon var. Başka bir fonksiyonla işleme soktuğumuzda ortalama kaç eleman kendisine gideceğini hesaplamamız lazım.

Comments

$k$. anne $n.$ simetrik grupta $k$'yi sabitleyen permutasyonlari bekliyor. Eger $k$'yi sabit olarak dusunursek. Geriye $(n-1)$. simetrik grubun elemanlari (! - izomorf) elde edilir. Yani $\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$'lik bir beklenti olur.

---

Bu bulduğumuz bir annenin kendi çocuğunu alma beklentisi değil mi? 

---

Evet. "doğru bebeği alan annelerin beklentisi kaç olur?" ne demek tam olarak, zaten dogru bebegi almis. Burdaki beklenti dogru bebek alma beklentisi olsa gerek.

---

Kaç tane anne kendi bebeğini alır demek istemiştim. Bir annenin kendi bebeğini alması değil. Yani ortalama kaç anne kendi bebeğini alır? Tam ifade edememişim, düzeltiyorum.

---

Bunlar birebir fonksiyonlar olarak gorebiliriz. Bir eleman $\frac{n!}{n}$ kere bir elemana gider. Demek ki bir elemani sabitleyen $(n-1)!$ tane fonksiyon var. Beklentiler icin fonksiyonlar sabitlendigi zaman olarak dusunursek $n \times n!$ goruntuden $n \times (n-1)!=n!$ sabit. Yani yine $1/n$ oluyor olasi durum.

Yanlis mi dusundum bilmiyorum ama. Istenilen bu mu?

---

Yani, $\frac{1}{n}$ tane anne mi kendi bebeğini alır diyorsunuz? Neredeyse sıfır.

---

hocam bu 1/e tanımı degılmı https://tr.wikipedia.org/wiki/E_say%C4%B1s%C4%B1  burda en aşşagıda anlatılmış şapka problemi diye

---

Cevabın öyle bir şey olması lazım. Ben de nasıl olduğunu öğrenmek için sormuştum zaten.