$x^4+1$ polinomu her $p$ asalı için mod $p$'de indirgenebilirdir.

Question

İpucu: $x^4+1$ polinomu, $x^{p^2}-x$ polinomunu böler. 

İkinci polinom bir yerlerden tanıdık!

---

indirgenebilir: reducible

Answer 1

Ipucu üzerinden gidelim. Eger $p=2$ ise ipucu gecerli degil. Fakat polinom bariz bir sekilde $(x+1)^4$ seklinde yazilabililr. Eger $p>2$ ise $p$ tek olur ve $p^2-1$ de $8$'e tam bolunur. Yani $x^{p^2}-x$ polinomu $x^8-1$ polinomuna ve dolayisiyla $x^4+1$ polinomuna bolunur. Bu da bize bu polinomun koklerinin $\mathbb F_{p^2}$ icerisinde olacagini soyler. Eger indirgenemez olsaydi sadece $\mathbb F_{p^4}$ icerisinde olan bir adet koku olmasi gerekird ama yok, hepsi $\mathbb F_{p^2}$ cismine gitmis.