Kosegeni ayni diger girdileri bir olan matrisin determinanti

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

Asagidaki $n \times n$ matrisin determinanti kactir: $$\begin{pmatrix}a & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\1 & a & \ddots &  & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots &  & \ddots & a & 1 \\1 & \cdots & \cdots & 1 & a \\ \end{pmatrix} .$$

Dongusel matris ile soyle bir cozumu var: Soyle $f(x)=a+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$ olarak tanimlayalim ve $w$ da birin $n$. dereceden bir ilkel koku olsun. Bu durumda determinant $\prod\limits_{i=0}^{n-1}f(w^i)=f(1)(a-1)^{n-1}=(a-1)^{n-1}(a+n-1)$ olur.

Baska cozum yontemi bulabilir misiniz?

13, Ocak, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Elementer işlemlerlede yapılabilir.

$ n. $  satırın $-1$ katını diğer satirlara eklersek det değişmez. Daha sonra ilk $ n-1  $ satirdan $  a-1 $ ortak çarpani dişarı alalim. $( a-1 )^  {n-1}$ çarpani gelir.

Sirasiyla 1., 2.,   ..., n-1 sütunlari n. Sütuna ekleyelim ve son sütuna gore kofaktör açilimindan ayni sonuç çikiyor.

14, Ocak, 2016 eynesi (648 puan) tarafından  cevaplandı
28, Ocak, 2016 Sercan tarafından seçilmiş

Aslinda sormak istedigim, daha (trick) kurnaz yontemlerle matrisin ozelligni kullanarak nasil bulabilecegimizdi. Fakat soruda bunu belirtememisim.

...