$\int_0^1\left(\sqrt[5]{1-x^3}-\sqrt[3]{1-x^5}\right)\,dx$ integralini hesaplayınız.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
86 kez görüntülendi

Bilgisayar programı kullanmadan!

8, Ocak, 2016 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,382 puan) tarafından  soruldu

Cevap sıfır olmalı

Nedeni olmadan kabul etmiyoruz :-)

İşin püf noktası gamma fonksiyonu olsa gerek.

Karmaşık şeylere hiç gerek yok. Çok daha basit bir mantığı var.

Bu çözüldükten sonra daha genel bir şeklini bir satırda ispatlayacağım.

İntegralin içi aranan fonksiyonun türevidir.  f ' (0) = 0 ve   f ' (1) = 0 olmaktadır.

İpucu: İntegralleri HESAPLAMADAN $\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\int_0^1\sqrt[5]{1-x^3}\,dx$ olduğu gösterin.

İntegraller eşit olunca köklü ifadeler  de eşit olmalı  şeklinde düşünülmemesi gerekir mi acaba?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Rutin ve uzun çözüm:

Kısmi İntegrasyon ile:

$\displaystyle\int\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=x\sqrt[3]{1-x^5}-\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx$

$t^3=1-x^5$ olsun. $3t^2\,dt=-5x^4\,dx$ olur. $3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}=3t^2,\ x=\sqrt[5]{1-t^3}$ olur ve 


$\displaystyle\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx=\int \sqrt[5]{1-t^3}\,dt   $ olur.

 Buradan

$ \displaystyle\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\left.x\sqrt[3]{1-x^5}\right|_0^1-\int_1^0\sqrt[5]{1-t^3}\,dt =\int_0^1\sqrt[5]{1-t^3}\,dt $ olur.

8, Ocak, 2016 DoganDonmez (3,382 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Güzel Çözüm:

$f(x)=\sqrt[3]{1-x^5}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)=\sqrt[5]{1-x^3}$ dir ve $f(0)=1,\ f(1)=0$ dır. 

$\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx$, $\{(x,y):0\leq x\leq1,\ 0\leq y\leq f(x)\}$ bölgesinin alanıdır. $\int_0^1\sqrt[5]{1-y^3}\,dy$, $\{(x,y): 0\leq y\leq1,\ 0\leq x\leq f^{-1}(y)\}$ bölgesinin alanıdır. 

Ama iki bölge aynıdır. ("Hipotenüsü" $y=f(x)$ eğrisi olan bir "dik üçgen")

(Bunu   genelleştirebiliriz)

8, Ocak, 2016 DoganDonmez (3,382 puan) tarafından  cevaplandı
8, Ocak, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi
Bir fonksiyonun ve tersinin integrallerinin eşit olduğu bir durum.
...