Temel Kavram

Question

a,b,c,d pozitif reel sayılar,

a.b.c.d = 625

verildiğine göre a^4+b^4+c^4+d^4 toplamı en az kaç olabilir?
A)18      B)19       C)20     D)21          E)22

Comments

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğini kullanın.

Answer 1

$x+y\ge 2\sqrt{xy}$  biliyoruz.

 Aritmetik ortalama Geo. Ortalama

$a^4+b^4=x$ ve $c^4+d^4=y$ olsun. Buradan

$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2 \sqrt{ a^4+b^4 } \sqrt {c^4+d^4  }$ sonucu çıkar.  Aynı şekilde

$a^4+b^4\ge 2a^2b^2$ ve $c^4+d^4\ge 2 c^2 d^2$ olur.

Yerine yazarsak  $a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd$ olur.

Yani $4\text x 625$ en kucuk degeri olur. Ama şıklarda yok.