$x^n+x\pm p$ polinomunun indirgenemezligi

Question

$x^n+x\pm p$ polinomunun tum $n \geq 2$ ve tum $p \geq 3$ icin $\mathbb{Q}$ uzerinde indirgenemez oldugunu gosteriniz.. 

Bu polinomlar hosuma gitti, yani hem elimizde cisim genislemesi yapabilecegimiz bir polinom var, hem de bu cisim genislemesinde $x^n=-x\mp p$ indirgemesi yapabiliyoruz..

Comments

$p$ asal olmak üzere..

---

Bu soru için $n$ üzerinden tümevarım yapmak ne derece uygun olur? 

---

yapilamaz gibi. yani biraz canlandirayim dedim de, tumevarimla zor gibi.. zor dedigim tumevarimla ilerleyebilecegim bir yol goremedim..

indirgenir kabul edip, $\mathbb{C}$ uzerinde koklerin analizini yaparak gelir de.. tumevarimdan da gelirse gormek isterim..

---

$n=1$ için de indirgenemez :)

---

şahane bir katkı sağladım

---

$n=1$ için polinom $\Bbb{Q}$ da indirgenir.

---

Yok, indirgenemez. $2x+p$ polinomunu sabit olmayan iki polinomun çarpımı biçiminde yazamazsınız. Tamsayı katsayılı çalışıyor olsaydık ve $p=2$ olsaydı indirgenir olurdu ama.

---

$n=1$ icin hic $p$ kisaltmasi olmayacagi icin, onu eklemeyeyim dedim, hatta $n=0$ bile eklenebilir.

Answer 1

indirgenir kabul edelim. O zaman $x^n+x+p=(x^a+\cdots+ p)(x^b+\cdots+1)$ diyelim, $0<a,b<n$ olmak uzere. (ya da "$\pm p$" ve "$\mp 1$" de olabilir sonu ama cozum incelendiginde hepsi icin calisiyor ispat.)

ikinci polinom carpanina baktigimizda $\mathbb C$ icindeki bir kokunun boyu $\leq 1$ olmak zorunda, cunku kok carpiminin boyu $1$, bu koke $u$ diyelim. O halde $u^n+u+p=0$.


Simdi $0=|u^n+u+p| \geq p-|u|^n-|u| \geq 3-1-1=1$ , celiski.

Comments

Tanidik geldi.

---

Nerden? Senin 1 katkindan yola ciktim diyeyim de, katki bosa gitmesin :)

---

E tabi ordan. Ben yukarda bir demesem boyu $1$'den küçük olana değil $p$'den küçük olana bakardın bence.

---

Bi ara $q$'dan kucuk olana bakacaktim, 1 saat falan dusundum uzerine, sonra baktim $q$ yok soruda. Acaba ne dusunmustum o arada, iste insan akli..

Answer 2

$p$ nin seçimine bağlı değildir. $2x+p=2(x+\frac{p}{2})$ ve $2 \in\Bbb {Q}$ da tersinir olduğundan polinom $n=1$ için indirgenir.

Comments

$n=1$ durumu dahil değil ama olsa bile $2x+p$ polinomu $Q$ üzerinde indirgenemez. Tersinir ile indirgenemezi çarparsak yine indirgenmez elde ederiz.

---

yine aynı hataya düştüm değil mi?

---

Biraz öyle oldu hocam.