A dan A ya f ve g fonksiyonlari tanimlanmistir.(fog)(x)=f[g(x)] ile verilen fog bileşke fonksiyonu bire bir ise hangisi kesinlikle doğrudur?

Question

F örtendir

G Örtendir

F birebirdir.

G bire birdir.

Gof birebirdir.

Bu soruyu nasil yorumlayip cozebiliriz?

Answer 1

Her $x_1,x_2\in A$ iken $(fog)(x_1)=(fog)(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ ise $fog$ fonksiyonu bire-birdir.

$(fog)(x_1)=(fog)(x_2)\Rightarrow f(g(x_1))=f(g(x_2))$ Eğer f, bire-bir ise buradan $g(x_1)=g(x_2)$ olur. $f$ bire-bir değilse bu geçişi yapamayız. 

Ve eğer $g$ bire-bir ise $g(x_1)=g(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ olacaktır. O halde $f,g$ bire-bir olmalılar.

Comments

Hocam cevap tek şıklı 2006 osym sorusu g birebirdir diyor.Bende f nin neden bire bir olmadigini anlamadim .

---

Bu kanittaki hata su: "$f$ birebir ise" ve "$g$ birebir ise" diyerek zaten varmak istediginiz sonucu varsayiyorsunuz ikiniz de.

Ortadaki cumleleri cikarttiginizda argumaniniz su:

"Eger $f$ birebir ise ve $g$ birebir ise ..... $f$ ve $g$ birebir olmalilar."

Answer 2

$$g(x_1)=g(x_2)$$ $$\Rightarrow$$ $$f(g(x_1))=f(g(x_2))$$ $$\Rightarrow$$ $$(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)$$

$$\overset {f\circ g, \text{ birebir}}{\Longrightarrow}$$

$$x_1=x_2$$

O halde $g$ fonksiyonu birebirdir.

Comments

Hocam bu soruda f bire bir neden degildir soru o kadar yaniltici ki ilk gorunce f bire birdir dedim f[g(x)] bire bir ise f de tum g(x) ler birebirdir.Ama tanim kumesindeki her elemanin bire bir oldugunu soyleyemeyiz diye dusundum.Ama f[g(x)] fonksiyon ise g(x) fnin tum tanim kumesinde ki elemanlar olmalidir.

---

$f$ fonksiyonu birebir değil fakat $f\circ g$ fonksiyonu birebir olacak şekilde $f$ ve $g$ fonksiyonları bulmaya çalışmanı tavsiye ederim.

---

$g$'nin birebir oldugunu murad.ozkoc'un cevabindan daha guzel sekilde kanitlamak zor.

Senin anlamadigin sey su: "$f$ birebir degildir." demiyoruz. "$f$ birebir olmak zorunda degil." diyoruz. $f$'nin birebir oldugu ornekler bulabiliriz, $f$'nin birebir olmadigi ornekler de bulabiliriz.

$X$ herhangi bir kume olsun. $f: X \to X$ fonksiyonu etkisiz fonksiyon olsun: $f(x) = x$ olarak tanimlansin. Ve $g = f$ olsun. O halde $f \circ g (x) = f \circ f (x) = f(f(x)) = f(x) = x$ olur. Demek ki elimizde birebir bir fonksiyon var. Bakalim, elimizde ne var: $f \circ g$ birebir. Yani, soruda verilen hipotez saglaniyor. Ve ustelik $f$ de birebir. Bu birinci ornek.

Ikinci ornek icin $X = \{a\}, Y = \{a,b\}$ kumelerini al. $g: X \to Y$ fonksiyonunu $g(a) = a$ olarak tanimla. $f: Y \to X$ fonksiyonunu da $f(a) = f(b) = a$ olarak tanimla (zaten baska turlu tanimlayamazsin.). Bu durumda, $f \circ g$ fonksiyonu $X$'ten $X$'e bir fonksiyondur:

$$f \circ g: X \xrightarrow{g}Y \xrightarrow{f} X$$

ve $f(g(a)) = f(a) = a$'dir. Yani, $f \circ g$ fonksiyonu etkisiz fonksiyondur (zaten $X$ tek elemanli oldugu icin, baska turlu bir fonksiyon tanimlayamazsin.). Tamam. Elimizde $f \circ g$ birebir fonksiyonu var. Sorunun hipotezi saglaniyor. Ancak $f$ fonksiyonu birebir degil.

---

Tesekkur ederim.

---

Hocam verilen fonksiyonların A dan A ya tanimli olması f fonksiyonunun da birebir olmasını gerektirmez mi?Sizin verdiğiniz örnekte tanım ve değer kümeleri farklı