Yazı gelene kadar yazı tura atıyoruz. Ortalama kaç kez atarız?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
636 kez görüntülendi

Yapabildiğim:

1 kere attığımızda yazı gelme ortalaması : $\frac{1}{2}$ x 1 dir.

2 kere attığımızda yazı gelme ortalaması: $\frac{1}{2}$ x $\frac{1}{2}$ x 2 dir.


n kere attığımızda yazı gelme ortalaması: $\frac{1}{2^n}$ x $n$ dir.

Bunları toplayıp n'yi sonsuza götürürsek:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ buluruz. Bu toplamı hesaplayamadım. Buraya kadar doğru yaptığımdan da emin değilim.

22, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (632 puan) tarafından  soruldu
22, Aralık, 2015 Cagan Ozdemir tarafından düzenlendi

Bu toplam 2 olsaydı nasıl tepki verirdin?Bir soru daha:sonlu sayıda atış sonucunda hiç yazı gelmeme ihtimali de var.O zaman böyle sonlu bir ortalamadan bahsedebilir miyiz?

Soru üzerine düşünürken, ''Olsa olsa 2 olur!'' demedim değil.

Gelmeme olasılığının olması ortalamanın varlığını etkiler mi? Gelme durumlarının sayısını tüm olay sayısına bölüyoruz.
Genelleştirirken bi hata yapmış olabilirsin.Tüm olaya bölmekten bahsedelim mesela.Tüm olayın içinde ilk atışta yazı  gelme ihtimali de var ama sen bunu $n>1$  atış için hesaba katamazsın çünkü ilk atışta yazı geldiyse orada durman gerekir $n-1$ atış daha yapmazsın.
Tam olarak n' inci atışta yazı gelme olasılıklarını toplayıp atış sayısına bölmek gerek.
çarpı $n$ neden geliyor. iki için TT  YY YT TY olası durumları var. 1-1/4=3/4 etmez mi? Genel olarak yazı gelme olasılığı $1-1/2^n=(2^n-1)/2^n$ olur.
YY durumunu saymayiz, bir kere yazi geldikten sonra oyun bitiyor, bastan basliyoruz. Soyle olur: Y TY TTY ...

ben de bundan bahsediyordum,tüm olayı sayarken sadece son atışta yazı gelme durmunu düşünmeliyiz.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yaptığınız hesap doğru. Bu oyunun $n$ atış sonunda bitme ihtimali (yani ilk $n-1$ atışta tura ve $n.$ atışta yazı gelme ihtimali) $\frac{1}{2^n}$. Oyun $n$. atışta sona erdiğinde $n$ kere atış yapmış oluyoruz. Beklenen değeri (yani attığımız "ortalama" yazı-tura sayısını) hesaplarsak: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=n}^{\infty} \frac{1}{2^m}=1+\frac{1}{2}+ \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 2$

23, Aralık, 2015 Burak (1,195 puan) tarafından  cevaplandı

Burak ın ispatladığı eşitliğin Analiz ile ispatı da var:

$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x} \ (|x|<1)$ (geometrik seri toplam formülü)

Her iki tarafın türevi alınırsa:

$\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2} \ (|x|<1)$ Her iki tarafı da $x$ ile çarpalım:

$\sum_{n=0}^\infty nx^{n}=\frac x{(1-x)^2} \ (|x|<1)$ Şimdi $x$ yerine $\frac12$ yazılırsa:

$\sum_{n=0}^\infty \frac n{2^n}= 2 $ elde edilir.

İki ispat da güzelmiş.

...