Yazı gelene kadar yazı tura atıyoruz. Ortalama kaç kez atarız?

Question

Yapabildiğim:

1 kere attığımızda yazı gelme ortalaması : $\frac{1}{2}$ x 1 dir.

2 kere attığımızda yazı gelme ortalaması: $\frac{1}{2}$ x $\frac{1}{2}$ x 2 dir.

n kere attığımızda yazı gelme ortalaması: $\frac{1}{2^n}$ x $n$ dir.

Bunları toplayıp n'yi sonsuza götürürsek:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ buluruz. Bu toplamı hesaplayamadım. Buraya kadar doğru yaptığımdan da emin değilim.

Comments

Bu toplam 2 olsaydı nasıl tepki verirdin?Bir soru daha:sonlu sayıda atış sonucunda hiç yazı gelmeme ihtimali de var.O zaman böyle sonlu bir ortalamadan bahsedebilir miyiz?

---

Soru üzerine düşünürken, ''Olsa olsa 2 olur!'' demedim değil.

Gelmeme olasılığının olması ortalamanın varlığını etkiler mi? Gelme durumlarının sayısını tüm olay sayısına bölüyoruz.

---

Genelleştirirken bi hata yapmış olabilirsin.Tüm olaya bölmekten bahsedelim mesela.Tüm olayın içinde ilk atışta yazı  gelme ihtimali de var ama sen bunu $n>1$  atış için hesaba katamazsın çünkü ilk atışta yazı geldiyse orada durman gerekir $n-1$ atış daha yapmazsın.

---

Tam olarak n' inci atışta yazı gelme olasılıklarını toplayıp atış sayısına bölmek gerek.

---

çarpı $n$ neden geliyor. iki için TT  YY YT TY olası durumları var. 1-1/4=3/4 etmez mi? Genel olarak yazı gelme olasılığı $1-1/2^n=(2^n-1)/2^n$ olur.

---

YY durumunu saymayiz, bir kere yazi geldikten sonra oyun bitiyor, bastan basliyoruz. Soyle olur: Y TY TTY ...

---

ben de bundan bahsediyordum,tüm olayı sayarken sadece son atışta yazı gelme durmunu düşünmeliyiz.

Answer 1

Yaptığınız hesap doğru. Bu oyunun $n$ atış sonunda bitme ihtimali (yani ilk $n-1$ atışta tura ve $n.$ atışta yazı gelme ihtimali) $\frac{1}{2^n}$. Oyun $n$. atışta sona erdiğinde $n$ kere atış yapmış oluyoruz. Beklenen değeri (yani attığımız "ortalama" yazı-tura sayısını) hesaplarsak: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=n}^{\infty} \frac{1}{2^m}=1+\frac{1}{2}+ \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 2$

Comments

Burak ın ispatladığı eşitliğin Analiz ile ispatı da var:

$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x} \ (|x|<1)$ (geometrik seri toplam formülü)

Her iki tarafın türevi alınırsa:

$\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2} \ (|x|<1)$ Her iki tarafı da $x$ ile çarpalım:

$\sum_{n=0}^\infty nx^{n}=\frac x{(1-x)^2} \ (|x|<1)$ Şimdi $x$ yerine $\frac12$ yazılırsa:

$\sum_{n=0}^\infty \frac n{2^n}= 2 $ elde edilir.

---

İki ispat da güzelmiş.