Düzgün süreklilik

Question

$f(x) = \frac{1}{x}$, $x \in R$ fonksiyonunun $(0,1]$ aralığında düzgün sürekli olmadığını nasıl gösteririz? (Burada $(0,1]$ ya da $(0,1)$ olmasi sonucu nasil degistirir?)

Comments

 soruları türkçe sorabilirmisiniz

Answer 1

Ben sezgisel bir açıklama yapayım diyerek başladım ama hem uzun oldu hem de düşündüğüm kadar sezgisel olmadı. Süreklilikle ilgili kısa bir nota dönüştü. Bence birinci sınıf lisans öğrencilerinin işine yarayabilir.

$\mathbb{R}$ dünyasında kalarak konuşuyorum. $U\subseteq \mathbb{R}$ herhangi bir altküme ve $f:U\longrightarrow \mathbb{R}$ bu küme üzerinde tanımlı $\mathbb{R}$ değerli herhangi bir fonksiyon olsun.

Bir $a\in U$ noktasında $f$ fonksiyonunun sürekli olması demek, $a$ noktasının civarındaki noktaların görüntülerinin $f(a)$ noktasının civarında olması demek. Yani $f(a)$ çevresinde ne kadar ufak bir $A$ kümesi alırsak alalım, $a$ çevresinde öyle bir ufak $B$ kümesi bulabiliriz ki, bulduğumuz kümedeki ($B$'deki) elemanların görüntüsü $f(a)$ çevresinde aldığımız kümenin ($A$'nın) içine düşer. Başak bir deyişle ufak bir $A$ verildiğinde $f(a)$ çevresinde $$f(B)\subseteq A$$ şartını sağlayan $a$ çevresinde bir $B$ kümesi bulabiliriz. Bundan sonra böyle bir $B$ kümesine $A$ kümesi ve $a$ noktası için sürekliliğe delil olan bir küme diyelim. Bir noktanın civarındaki küme diyince de aklımıza gelmesi gereken o noktayı içeren açık bir aralık olmalı. Yani $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli diyebilmemiz için, $(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)$ gibi bir küme verilince $$f((a-\delta,a+\delta))\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)$$ şartını sağlayan  $(a-\delta,a+\delta)$ gibi bir küme (ya da $\delta>0$) bulabiliriz. Delil tanımını burada da verebiliriz. Yukarıdaki şartı sağlayan $\delta$ sayısına $\epsilon$ ve $a$ ikilisi için sürekliliğe delil olan bir sayı diyelim. Şimdi buradaki $\delta$ büyüklüğü aldığımız $a$ noktasına göre değişiklik gösterir. $a$ noktasından uzaklaşırken fonksiyon çok hızlı büyüyorsa (ya da küçülüyorsa) $a$ noktasından $a+\delta$ noktasına varana kadar $f$ fonksiyonunun değeri çok büyüyecektir. O halde $f(a)+\epsilon$'u geçmememiz için $\delta$'yı ufak tutmalıyız. Ama $a$ noktasından uzaklaşırken $f$ fonksiyonu pek de hızlı büyümüyorsa $\delta$'yı seçerken daha rahat davranabiliriz. Öyle ya da böyle, bu gözlem bize $\delta$ sayısının yalnızca $\epsilon$'a değil, aynı zamanda sürekliliğin sorgulandığı $a$ noktasına da bağlıdır. Örneğin $f(x)=x^2$ fonksiyonunu ele alalım. Rastgele bir $a$ noktası ve $\epsilon$ alalım. Acaba bir $\delta$ bulabilir miyiz? $\delta$'dan yerine getirmesini beklediğimiz şart şudur: $u<\delta$ için $$(a+u)^2-a^2=a^2+2u a+u^2-a^2=2u a+u^2=u(2a+u)< \epsilon$$ O halde $a$ büyüdükçe $\delta$ küçülmek zorunda (Çünkü $\delta$ büyüdükçe $u$'yu da büyütebiliriz). Misal $a=0$ alırsak $\delta=\sqrt{\epsilon}/2< \sqrt{\epsilon}$ alabiliriz. Ama $x=100$ ve $\epsilon=1$ alırsak $\delta=\sqrt{\epsilon}/2$ alamayız. Şuna dikkat edelim: Bir $\epsilon$ verildiğinde $a=100$ için bulduğumuz $\delta$'yı $a=0$ için de kullanabiliriz. Çünkü $0$'dan uzaklaşırken fonksiyonun artması $100$'den uzaklaşırkenki artmadan az, yani $f(0+x)-f(0)\leq f(100+x)-f(100)$.

Dönelim düzgün sürekliliğe. Yukarıda şunu gördük. Süreklilik testimiz yerel olarak anlamlı. Bir nokta için bulduğumuz delil (yani $\delta$) başka bir noktadaki süreklilik için delil olarak kullanılamaz. Geldik düzgün süreklilik tanımına. Eğer $\epsilon$ verildiğinde her nokta için kullanabileceğimiz bir delil (yani $\delta$) bulabiliyorsak, ve bunu teker teker bütün $\epsilon$'lar için bulabiliyorsak $f$ fonksiyonuna düzgün sürekli denir.

Süreklilik testimizin yerelliğini gördüğümüz tartışma bize şunu salık veriyor. Eğer $f$ fonksiyonunun noktalar çevresindeki büyüme/küçülme hızı çok farklılaşıyorsa ortak bir $\delta$ bulma olasılığımız azalacaktır. Ama büyümenin bir sınırı varsa, verilmiş bir $\epsilon$ için en yüksek büyümenin olduğu yerde bulduğumuz delili ($\delta$'yı) diğer noktalarda da aynı $\epsilon$ için delil ($\delta$) olarak kullanabiliriz. $f(x)=x^2$ fonksiyonunda verilmiş bir $\epsilon$ için $100$ noktasında bulunan $\delta$'nın $0$ noktası için de kullanılabilir olması gibi. Bunun ispatı yapılabilir: Verilmiş bir $\epsilon$ ve $100$ için bulunan $\delta$ delili, $(-100,100)$ arasındaki her nokta için ve ilk $\epsilon$ için sürekliliğin delili olarak kullanılabilir. Yani şu ispatlanabilir. Eğer $a\in(-100,100)$ ise ve $\delta$ sayısı $\epsilon,100$ ikilisi için bir delil ise $$f(a-\delta,a+\delta)\subseteq (a^2-\epsilon,a^2+\epsilon)$$ eşitsizliği doğrudur (Bunu kolaylıkla ispatlayabilirsiniz. Tek kullanmanız gereken $\delta$'nın $\epsilon$ ve $100$ ikilisi için delil olmasının ne demek olduğu). O halde $[-100,100]$ aralığından $\mathbb{R}$ kümesine giden $x\longmapsto x^2$ fonksiyonu düzgün süreklidir diyebiliriz. Peki aynı kuralla $\mathbb{R}$ kümesinden $\mathbb{R}$ kümesine giden fonksiyon düzgün sürekli midir? Yukarıdaki incelememizde $\epsilon$ ve $a$ ikilisi için alınabilecek $\delta$ delilinin şu şartı sağlaması gerektiğini görmüştük: $$\delta(2a+\delta)\leq \epsilon$$ Bu şu demek. $a$ sonsuza giderken bulunabilecek $\delta$ değerleri $0$'a gitmeli. Bu da her nokta için çalışacak bir $\delta$ bulamayız demek, çünkü çok büyük $a$ noktaları için $\delta$ sıfıra çok yakın olmalı. Sonuç olarak fonksiyon düzgün sürekli değildir. Bu sonuç sezgisel açıklamamızla da uyumlu. Çok büyük noktalar civarında $x\longmapsto x^2$ fonksiyonu da çok hızlı büyüyor. Yani noktanın değeri büyüdükçe fonksiyonun o nokta civarındaki büyüme hızı sınırsızca büyüyor.

Dönelim soruya :)) Sıfır noktasına yaklaştıkça fonksiyonun büyüme hızı da sınırsızca artıyor. O yüzden beklentimiz düzgün sürekli olmaması. Ama fonksiyon $[\frac{1}{1000},\infty]$ arasında tanımlı olsaydı düzgün sürekli olurdu. Çünkü bu fonksiyonun büyüme/küçülme hızı en çok $\frac{1}{1000}$ noktasında. Bu nokta için verilmiş $\epsilon$'un delilini diğer noktalar için de delil olarak kullanabiliriz.

Answer 2

$f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun (0,$\infty$) için düzgün sürekli olduğunu kabul edin $x_n=1/n$ ve $x_n=1/2n$ alarak limitin tanımı yazarsanız sonuç vermediğini bulursunuz dolayısı ile çelişki elde edersiniz

sorunuzun ikinci kısmı ise $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonu [k,$\infty$] düzgün süreklidir k>0 için

Answer 3

$A\subseteq\mathbb{R}$ ve $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f,\,\ (A \text{'da}) \,\ \text{düzgün sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid <\epsilon)$$

$-----------------------------------$

$$f,\,\ (A \text{'da}) \,\ \text{düzgün sürekli değil}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists \epsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x\in A)(\exists y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \,\ \wedge \mid f(x)-f(y)\mid \geq \epsilon)...(*)$$

$-----------------------------------$

O halde $f(x)=\frac{1}{x}$ kuralı ile verilen $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için $\epsilon=1$ olmak üzere $\delta>0$ sayısı ne olursa olsun $x=\frac{\delta}{2 \delta +1}\in (0,\infty)$, $y=\delta\in (0,\infty)$ alınırsa 

$$\mid x-y \mid = \left | \frac{\delta}{2 \delta +1}-\delta\right | =\frac{2\delta^2}{2\delta+1}<\delta$$

ve

$$\mid f(x)-f(y) \mid = \left | \frac{2 \delta +1}{\delta}-\frac{1}{\delta}\right | =2 \geq1$$

yani $(*)$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu $(0,\infty)$ üzerinde düzgün sürekli olmaz. Benzer şekilde $f(x)=\frac{1}{x}$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun $(0,1)$'de düzgün sürekli olmadığını gösterebilirsiniz.

Comments

Bu x ve y değerlerini $\delta$ türünden  nasıl buldunuz? Kriter nedir? Bir kolayı var mı? nedir?

---

Bildiğim bir kriter yok. Üzerine yoğunlaşıp konsantre olmak suretiyle birkaç denemeden sonra bulabiliyorum. Aynı koşulu sağlayacak farklı $x$ ve $y$ değerleri bulunabilir. Dikkat edilmesi gereken bir husus da $\delta$ cinsinden yazılan $x$ ve $y$'nin tanım kümesi içine düşürmek.