$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}=?$

3 beğenilme 0 beğenilmeme
286 kez görüntülendi

Bu soru L'Hospital Kuralının anlaşılması için bir örnektir.

20, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,699 puan) tarafından  soruldu

Bir kere bir, bir eder:)


Limit degeri $1$ mi demek istiyor yorum? Bence $1$ degil.

(Şaşırtmaca) Belki de limit yok, çünki $\displaystyle\lim_{x\to0}\cos\textstyle\frac1x$ limiti yoktur. 

Bence de. 0 değil, 1 değil.

Ben de sifir oldugunu ispatladim simdi. Tabi dogru ise.

Tanımsız olmasın:)

Evet. Soruyu ben sormustum. Hatta cevap veren o gun yorgun oldugundan ispati sonra ekleyecekti. ne zaman ekler acaba? :)

:-(                      

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$x \ne 0$ oldugunda $$|\sin(\frac1x)|\leq 1$$ esitsizligi saglanir ve de dolayisi ile $$0\leq \bigg|\frac{x^2\sin(\frac1x)}{\sin x}\bigg| \leq \bigg|\frac{x^2}{\sin x}\bigg|$$ esitsizligi de saglanir. Eger uclarin limitini alirsak (kolay bir sekilde) sifir elde ederiz. Gerisi de sıkışma teoremi ve mutlak degeri sifir olan limitin kendi limitinin de sifir olacagi.

20, Aralık, 2015 Sercan (23,859 puan) tarafından  cevaplandı
19, Aralık, 2017 Sercan tarafından düzenlendi

Güzel ama;

(bu limitte $\frac00$ belirsizliği var) L'Hospital in (aslında Johann Bernoulli nin) Kuralını uygularsak:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x\sin\frac1x-\cos\frac1x}{\cos x}$ limitine dönüşür.

Yukarıda belirttiğim gibi, $\displaystyle\lim_{x\to0}\textstyle\cos\frac1x$ var olmadığı (diğer tüm terimlerin limiti var) için, bu limit de,var olamaz.  Ek: $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$ olduğu, Sercan ın çözümündeki gibi) görülür.

Oysa ki (Sercan ın güzel çözümündeki gibi)

$\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}=0$ dır.

Bu çelişkiyi nasıl açıklarız? L'Hospital (yani Bernoulli) Kuralı hatalı mı?


Bu durum L'Hospital ile çelişmez.Kuralı uygulayabilmemiz için   $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$' in sonlu veya sonsuz bir değerinin olması gerek.Eğer bu limit yoksa, $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ de yoktur diyemeyiz.

Bence Pay türevlenebiliyor (türevi x sıfır için 0) dolayısı ile soru l'hospitalden de yapılabilir. Eğer pay xsin(1/x) şeklinde olsaydı türevlenemezdi

L'Hospital in Kuralını uygulayınca da limit yok çıkıyor.

Hangisini doğru cevap kabul edeceğiz?

(Soruyu sormamın amacı buydu)

payın türevini çarpımın türevi olarak almaktan kaynaklanıyor olabilir ben wolframa yazdım oda sizin cevabınızı verdi ama fonksiyonun (payın) türevini kuralı ile ( limit ile ) alırsak türev sıfır çıkıyor 

Payın türevi sıfır değil ama sıfırdaki türevin değeri 0. Fakat biz 0 da limit alacağımız için payın türevinin sıfırdaki değeri önemsiz ve payın türevinin ($x\to0$) limiti Yok, sorun orda. (payın türevi 0 da süreksiz. Limit alırken yalnızca fonksiyon SÜREKLİ ise değerini yazmalıyız. 

Ek: Sanıyorum yavuzkiremici şu çözümü  kastediyor

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2\sin\frac1x}{x-0}}{\frac{\sin x}{x-0}}=\frac{\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{x-0}}{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x-0}}=\frac01=0$

($\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{x-0}=0$ olduğu Sercan ın çözündekine benzer şekilde görülür)

 Hiç bir ispat da gerektirmiyor, aşikar.  

Ama bu başka bir çözüm, tam olarak L'Hospital in Kuralı değil. 

Benim sorudaki amacım, L Hospital in Kuralındaki ince bir noktayı hatırlatmaktı.

...