Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.2k kez görüntülendi

$\sum _{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}.\dfrac {n^{p}} {5n^{5}-2n},p\in R.$

  • serisi yakınsak ise p nin alabilecegi değerler aralığı nedir? 

  • (Raabe Teoremi kullanılarak nasıl çözülür?) 
  • (farklı bir çözüm yolu varmı ?)
Serbest kategorisinde (34 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.2k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}$ serisi $
p\geq 5$ için ıraksak ve $p<5$ ise yakınsaktır.

Raabe testi pozitif terimli seriler  için uygulanan bir testtir. Bu seri ise işaret  değişimli bir seridir.
Dolayısıyla Raabe testi ancak bu serinin mutlak yakınsak olup olmadığını anlamak için kullanılabilir.
Bu durumda bile bu seriye neden Raabe testi uygulamak gerekiyor anlamadım. Aslında cevap neredeyse aşikar.

$p\geq 5$ ise $\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right\vert \geq \frac{1}{5}$ olduğundan seri ıraksaktır.

$p<5$ olsun. $5n^{5}-2n\geq 3n^{5}$ olduğundan $a_{n}=\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}>0$ dır. Ayrıca $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ olur. $
p\geq 4$ ise
\[
\frac{d}{dn}\left( \frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right) =-\frac{n^{p-2}}{\left(
5n^{4}-2\right) ^{2}}\left( 5\left( 5-p\right) n^{4}+2\left( p-1\right)
\right) <0\
\]
dır. O halde $p\geq 4 $ ise $\left( a_{n}\right) $ azalandır. Dolayısıyla işaret değişimli seri kıstasından dolayı seri yakınsaktır. $p<4$ ise
\[
\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right\vert =\frac{
n^{p}}{5n^{5}-2n}\leq \frac{n^{p}}{3n^{5}}=\frac{1}{3n^{5-p}}
\]
olup $5-p>1$ olacağından karşılaştırma testi nedeniyle seri mutlak yakınsaktır.

(541 puan) tarafından 
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,928 kullanıcı