Question

$arg(z-2)-arg(z+2)=\frac{\pi}{3}$ karmaşık sayılarını bulunuz

Answer 1

$Arg(z-2) - Arg(z+2)=\frac\pi3$ eşitliğini sağlayan noktaların, $A(2,0)$ ve $B(-2,0)$ olmak üzere,

$[AB]$ doğru parçasını 60 derecelik açı altında gören noktaların belirttiği çember yayları üzerinde aranacağı anlaşılır. O da merkezi $M(0,\frac2{\sqrt3})$ veya $M'(0,-\frac2{\sqrt3})$  olan ve yarıçapları $\frac4{\sqrt3}$ olan çemberleri verir. Bu iki çemberden $M(0,\frac2{\sqrt3})$ merkezli çemberin $[AB] $ doğru parçasını 60 derece altında gören yay istenen geometrik yerdir.

$x^2+(y-\frac2{\sqrt3})^2=\frac{16}3 $çemberinin üzerindeki yayların bir kısmıdır...,

Comments

Hocam çok güzel olmuş teşekkürler

Answer 2

Orta Öğretim düzeyinde OLMAYAN (ileri düzey Lisans veya Lisansüstü düzeyde) bir çözüm.

$arg\left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac\pi3$ şeklide yazalım. Bu, orijinden geçen (reel eksenle $\frac\pi3$ radyanlık açı yapan)  bir doğrunun yarısıdır. Tüm doğruyu düşünelim. $\frac{z-2}{z+2} $ nin ters fonksiyonu $\frac{2z+2}{1-z}=-2+\frac4{1-z}$ dir. Möbius dönüşümü olduğundan ilk doğruyu (hiç bir noktası sonsuza gitmediği için) bir çembere gönderir. Bu çember (sonsuzun görüntüsü olan) $-2$ ve (0 ın görüntüsü olan) 2 den geçer, merkezi sanal eksen üzerinde olur . $z=1+i\sqrt3$ bu (yarı) doğru üzerindedir ve (görüntüsü olan)  $-2+\frac4{\sqrt3}i$ de çember üzerindedir. Buradan, çemberim merkezi $\frac2{\sqrt3}i$ olarak bulunur. Bu üç noktaya bakılarak yarı doğrunun, (ters Möbius dönüşümü altında) bu çemberin reel eksenin üstünde kalan (uzun) yayına gönderildiği, dolayısıyla çözüm kümesinin bu yay (uçlar hariç) olduğu bulunur.  

Comments

Hocam teşekkürler 

bir sorum var çözümünüzle ilgili değil ama bu tip soruların çözümüne dair

Benzer sorulara verilen cevaplara baktığımda genel olarak z=x+iy yazdıktan sonra eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıyor bunu yapmak mümkün mü? (bana değil gibi geliyor)

---

Belki önerdiğiniz şekilde de çözülebiliyordur, önceden bir bir tahmin yapmayayım ben. Çözülebilyor sanırım ama ben başka bir yaklaşımla çözmek istedim