$\Bbb{Z}$'den $\Bbb{Z}$'ye yegane halka homomorfizmalarının $0$ ve birim morfizmalar olduğunu gösterin.

Question

$\Bbb{Z}$ Tamsayılar halkasını göstermektedir.

Answer 1

$n>0$ icin $f(n)=f(1+\cdots+1)=f(1)+\cdots+f(1)=nf(1)$ olur.
$f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)$ olcagindan $n \in \mathbb Z$ icin$f(n)=nf(1)$ olur.

O zaman homomorfizmalar $x \to ax$ seklinde olmali. ($a=f(1)$).

Ayrica $a=f(1)=f(1\cdot1)=f(1)f(1)=a^2$ olacagindan $a=0$ ya da $a=1$ olabilir. 

Ek: Bazen $1 \to 1$ kabulu olabiliyor.

Comments

Ayrıca $af(1)=f(1.1)...$ $a$ yerine direk $f(1)$ yazıp devam etmek daha mı uygun olur?

---

Birde "Ek" kısmını neden yazdın? O zaman sadece birim fonksiyon olur.

---

Yani olabilir. 

Sonucta $f(1)$ bi deger. $f(1)=f(1)^2$ yazinca kafalar karisabiliyor bazen.

$a=f(1)$ dedigimizde fonksiyonlarin $x \to ax$ seklinde oldugunu  yazmak bana $x \to f(1)x$  yazmaktan daha hos geliyor.

---

Eger o kabul olursa, bazi degismeli cebir kitaplarindaki gibi, sadece birim fonksiyon olur. (Atiyah, Comutative Algebra)

Burdaki homomorfizma icin
$f(a+b)=f(a)+f(b)$,
$f(ab)=f(a)f(b)$
saglanmasi gerekir. Fakat bazilari $f(1)=1$ olmasini da kosul olarak ekliyor. Okuyucular bunu da bilsin diye ekledim.

---

Teşekkürler.