Trigonometri

Question

$\displaystyle \frac 1 { \cos {x}-\cos{3x}}+\frac 1 { \cos {x}-\cos{5x}}+\frac 1 { \cos {x}-\cos{7x}}+ \\ \displaystyle +\dots \frac 1 { \cos {x}-\cos{405x}}=\frac 1 { 1-\cos{2x}}$

denkleminin $[0,\pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Comments

Sorunun sonu okunmuyor.

---

Soruyu yolladıktan sonra kontrol etmemiştim.

Şimdi daha iyi sanırım.

Answer 1

$$\frac{1}{sin(nx).sin[(n+1)x]}=\frac{1}{sinx}(cot[(n+1)x]-cot(nx)).........(*)$$ olduğunu ispatlamak kolaydır. 

Ayrıca dönüşüm formüllerinden:

$$cosx-cos3x=-2sin2x.sin(-x)=2sin2x.sinx 4$$

$$cosx-cos5x=-2sin3x.sin(-2x)=2sin3x.sin2x$$

$$cosx-cos7x=-2sin4x.sin(-3x)=2sin4x.sin3x$$

$$\vdots$$

$$cosx-cos405x=-2sin203x.sin(-202x)=2sin203x.sin202x$$ olduklarını biliyoruz. Bu değerler verilen eşitlikte yerine yazılırsa, 

$$\frac{1}{2sin2x.sinx}+\frac{1}{2sin3x.sin2x}+\frac{1}{2sin4x.sin3x}+...+\frac{1}{2sin203x.sin202x}=\frac {1}{1-cos2x}$$ Olur. Şimdi $(*)$  eşitliğinde $n=1,2,3,...,202$ için elde edilen sonuçların taraf tarafa toplanması ile,

$$\frac{1}{2sinx}(cot2x-cotx+cot3x-cot2x+cot4x-cot3x+...+cot203x-cot202x)=\frac{1}{1-cos2x}$$

$$\frac{1}{2sinx}(cot203x-cotx)=\frac{1}{1-cos2x}$$

$$\frac{1}{2sinx}(cot203x-cotx)=\frac{1}{1-1+2sin^2x}$$

$$\frac{1}{sinx}(cot203x-cotx)=\frac{1}{sin^2x}$$

$$\frac{1}{sinx}(\frac{cos203x}{sin203x}-\frac{cosx}{sinx})=\frac{1}{sin^2x}$$

$$\frac{1}{sinx}(\frac{cos203x.sinx-sin203x.cosx}{sinx.sin203x})=\frac{1}{sin^2x}$$

$$\frac{1}{sinx}(\frac{sin202x}{sinx.sin203x})=\frac{1}{sin^2x}$$

$$sin^2x.sin202x=sin203x.sin^2x\Rightarrow sin^2x(sin203x-sin202x)=0$$

$$sin^2x=0\quad sin203x-sin202x=0$$ olur.

$$x=0+2\pi k,\quad x=\pi+2\pi k  ,\qquad k\in Z$$  ve $$sin203x=sin202x\Rightarrow 405x=\pi+2\pi k\Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi}{405}$$ olacaktır.