Seriler

Question

$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\left( 2n\right) !} {2^{2n}\left( n!\right) ^{2}}$ serisinin karakterini belirleyiniz.(Yakınsaklık- Iraksaklık)

Comments

karakter ne oluyor?

---

Yakınsaklık- Iraksaklık

---

$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$'den bulunabilir. Bu yardımcı olmazsa sonra çözümü de verebilirim.

---

Oradan limit 1 geliyor. 1 olduğunda yakınsaklık-ıraksaklık için bir şey söylenemiyor ki.

---

haklisin. Bi cevap yazacam birazdan.

Answer 1

Sercan'ın yorumu doğru değil. Çünkü

\[\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4^{n}}\] serisi yakınsak olduğundan, buradan verilen serinin yakınsaklığı ya da ıraksaklığı ile ilgili bir şey söylenemez.

Verilen serinin ıraksaklığı örneğin şöyle kanıtlanabilir: Stirling formülü olarak bilinen

\[m!\sim \sqrt{2\pi m}\left( \frac{m}{e}\right) ^{m}\] formülü kullanılırsa, verilen serinin genel teriminin

\[\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\] sayısına denk olduğu görülür. Ve genel terimi 

\[\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\] olan seri de ıraksaktır.

Comments

Evet, buyuk hata olmus. Bunu Stirling'i kullanmayayim diye iyice batirmisim.

Answer 2

$(n+1)(n+2)\cdots(2n)>(n+1)^n>n^n$ ve $1\cdot2\cdots n<n^{(n-1)}$ (bu ikincisinde $1$'in onemi yok)

Bunu iceri koyunca $...>\frac{n}{4^n}$ oluyor ve limiti sonsuza gidiyor. O zaman iraksak.

Comments

Cozum hatalidir! ama kalsin, hatali cozumlerde ise yarar..

Answer 3

$$\lim_{n\to\infty} \ n(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)=\frac{1}{2}<1$$ ıraksak (işlemlerini lateks ile yazamadım)

Answer 4

Başka bir çözüm daha:

$$\frac{(2n)!}{2^{2n}{(n!)^2}}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n)}{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2n)\cdot(2n)}=\frac22\frac32\frac44\cdots\frac{2n-1}{2n-2}\frac{2n}{2n}\frac1{2n}\geq\frac12\frac1n$$olur. Harmonik seri ($\sum\frac1n$) ıraksak olduğundan, Karşılaştırma Testinden  verilen seri de ıraksaktır.

Answer 5

Raabe testini kullanırsan cevabı bulursun.

Comments

Aynisi sizin sorunuz icin de gecerli. Ben de bu cevabin aynisini o soruya ekleyeyim :)

---

ben bir cevap buluyorum da cevaptan emin degilim 4 sınırı dahil mi olucak yoksa olmuyacak mı merak ettigim birazda bu.