Diziler 2

Question

$\left\{ \dfrac {2n+1} {3n-1}\right\}$ dizisinin limitinin $\dfrac {1} {3}$ olmadığını $\varepsilon$ tekniğiyle gösteriniz. 

Answer 1

Aksini varsayınız: Dizinin limiti gerçekten $1/3$ olsun. O zaman, limitin tanımına göre, keyfî $\varepsilon>0$ sayısı için öyle bir $N(\varepsilon)$ indisi vardır ki $n>N(\varepsilon)$ indisleri için,

$$\Bigg|\frac{2n+1}{3n-1}-\frac{1}{3}\Bigg|<\varepsilon$$ sağlanır. Yani mutlak değer içerisindeki ifadeyi istediğiniz kadar küçültebilirsiniz!

Biraz cebirle,

$$\Bigg|\frac{2n+1}{3n-1}-\frac{1}{3}\Bigg|=\Bigg|\frac{3n+4}{9n-3}\Bigg|<\varepsilon$$ demektir. Bu ifadeyi istediğiniz kadar küçültemezsiniz! $n$ büyüdükçe ifade $1/3$'e yaklaşır. Çelişkiyi bariz şekilde görmek için $\varepsilon$'u, meselâ, $1/4$ seçin (Buna hakkınız var. Çünkü keyfi $\varepsilon$ için çalışıyoruz! Çelişki doğuran bir değer seçmek yeterlidir.) O zaman,  

$$\Bigg|\frac{3n+4}{9n-3}\Bigg|=\frac{3n+4}{9n-3}<\frac{1}{4}$$ ve buradan, 

$$n<-\frac{13}{3}$$ ki bu $n$'nin tanımıyla çelişir. Demek ki bu dizinin limiti $1/3$ değilmiş!

Comments

Ayrıntılı çözüm için çok teşekkür ederim :)

---

Ricâ ederim. Matematik Dünyası Dergisi'nin ilgili sayılarında (diziler konusu, internetten arşivi tarayabilirsiniz) yeterince örnek bulunabilir.  

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/