Kompleks fonksiyonlar uzayı ve reel sayı uzayı arasındaki benzerlik

Question

Merhaba,

Her reel sayıya yakınsayan sayılamaz sonsuzlukta Cauchy dizisi vardır. Pekala, her kompleks fonksiyonun sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı var mıdır? Yakınsaklık yarıçapı içinde evet, ama bir noktada durum nasıldır? Mesela, $z$ bir kompleks sayı olmak üzere, $e^z$ 'nin 0 noktasında sayılamaz sonsuzlukta "power series" açılımı olabilir mi? Taylor katsayılarını kullanarak bilindik açılımı yazabiliyoruz; başka türlü zilyon tane açılım yazabilir miyiz aceb?

Comments

Güç serisi açılımı tektir.

---

Neden öyledir? $\{$ $1, z, z^2,...$ $\}$ kümesi lineer bağımsız olduğu için mi?

---

Herhangi bir karmaşık analiz kitabında ispatını bulabilirsin.

---

Doğruymuş, hem de onlara göre o kadar barizmiş ki ispatlamaya bile zahmet etmemişler :)

Answer 1

Soruyu doğru anladıysam olamaz. Çünki, (reel sayılarda da) (yakınsaklık yarıçapı pozitif olan) kuvvet serisine açılım tekdir, çünki ($a$ merkezli kuvvet serilerinde) katsayıları, 

 ($f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$ olmak üzere) $a_n=\frac{f^{n}(a)}{n!}$ eşitliği sağlanır.