$a,b,N,M >1$ olmak uzere $a^N-b^M=1$ kosulunu saglayan tam sayi degerleri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
58 kez görüntülendi

$a,b,N,M  >1$ olmak uzere $a^N-b^M=1$ kosulunu saglayan $(a,N,b,M)$ tam sayi $4$luleri nelerdir?

Bir ornek olarak: $(3,2,2,3)$.

13, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,624 puan) tarafından  soruldu

$N\neq M$ olmalı mıdır hocam?

Oyle bir kosul yok. Fakat olmamasi gerektigini gosterebilirsin: $$a^n-b^n=(a-b)(\cdots)$$

Benim de o biraz kafamı karıştırdı $N=M$ için sonsuz sayıda çözüm bulunmaz mı? (Bu sebepten ötürü bütün tamsayı dörtlülerini bulamayiz?)

$a-b=1$ olmali degil mi? Bu durumda $$(b+1)^n-b^n= \sum_{k=0}^{n-1}\binom nkb^k>  \sum_{k=0}^{n-1}\binom nk=2^{n}-1$$ olur.  Hatta $c$ pozitif tam sayi olsun: $$(b+c)^n-b^n= \sum_{k=0}^{n-1}\binom nkb^kc^{n-k}>  \sum_{k=0}^{n-1}\binom nk=2^{n}-1$$ olur yine. $n\ge 2$ icin $$2^n-1\ge 3$$ olur.

Yani aslında bu soruya vereceğimiz cevap bütün dörtlüleri yazmak değil sağlandığı şartları göstermek tarzında mı olmalı? (''tam sayı dörtlüleri nelerdir?'' ifade ediş şekli benim kafamı karıştıran, tam olarak ne isteniyor?)
...