Question

Bir ABC üçgeninde $AB=15cm$ ve C ye ait yüksekliğin uzunluğu 4 cm ise diğer iki yüksekliğin toplamı en fazla kaçtır?

Answer 1

$h_C$ nin $AB$ doğrusuna dik indiği nokta $D$ olsun. Dik indiği için $AC$ ve $BC$ doğruları sırasıyla $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin hipotenüsleri olur.

${h_C}^2+|AD|^2=|AC|^2$

${h_C}^2+|BD|^2=|BC|^2$

$A(ABC)=\frac{h_C.|AB|}{2}=\frac{h_B.|AC|}{2}=\frac{h_A.|BC|}{2}=30$

Bu durumda $h_A$ ve $h_B$'nin en büyük değerlerini alabilmesi için $|BC|$ ve $|AC|$ en küçük değerlerini almalıdır ve demin gösterdiğimiz hipotenüs bağıntılarında en küçük değerlerini alabilmemiz için $|AD|=|BD|=7,5$ olmalıdır. Tabanları $7,5$ ve yükseklikleri $4$ olan bu üçgenlerin hipotenüsleri $8,5$ olmalıdır. Tabanları $8,5$ ise ve alanları $30$ ise yükseklikleri $\frac{120}{17}$ olmalıdır. Toplarsak en fazla $\frac{120}{17}+\frac{120}{17}=\frac{240}{17}=14,118$ olduğunu görürüz.

Answer 2

Diğer yüksekliklerimiz $h_a \ ve\ h_b$ olsun  $K.O \geq A.O$ kulllanarak $2(h_a^2 \ +\ h_b^2)\geq (h_a  +  h_b)^2$ yazarak $h_a =h_b$ bulunur ki bu da ikizkenar üçgendir. Buradan pisagorla $h_a =h_b=\frac{120}{17}$ ki yükseklikler toplamıda $\frac{240}{17}$ dir.