Rasgele secilen elemanin olasiligi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
226 kez görüntülendi

ilgili soru: $[0,1]$-kapali-araligindan-rastgele-secilen-elemanin-olasiligi-nedir

Dogal sayilar kumesinden rastgele bir eleman secersek icinde $4$ rakaminin olma olasiligi nedir?

12, Mart, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Aslında bu soru gözüktüğünden daha problematik.

Öncelikle doğal sayılar (ya da herhangi sayılabilir bir küme) üzerinde noktaların olasılıklarının sıfır olduğu $\sigma$-eklemeli bir olasılık ölçümü yoktur. Dolayısıyla doğal sayılardan düzgün bir dağılımla rastgele sayı seçmenin bir yöntemi yoktur. Yani doğal sayılardan $[0,1]$ kümesinden rastgele eleman seçtiğimiz gibi rastgele eleman seçemeyiz.

Bu noktada iki şey yapabiliriz. Birinci olarak doğal sayılar üzerinde kafamıza göre bir olasılık dağılımı tanımlayıp sayıları buna göre seçebiliriz, ki bu durumda her n için $p(\{n\})=0$ olmayacaktır. Genelde "rastgele" seçim dediğimiz şeyde bir düzgünlük (uniformity) aradığımızdan bunu pek istemediğimiz konusunda hem fikiriz sanırım.

İkinci olarak "doğal sayılardan rastgele bir eleman seçildiğinde x olma olasılığı nedir" sorusunu "[0,n] aralığından rastgele bir doğal sayı seçildiğinde x'in olma olasılığının n sonsuza giderkenki limiti nedir" şeklinde yorumlayabiliriz, ki şurada yapılan tam olarak budur.

Bir $n \geq 1$ sayısı için $[0,10^n-1]$ aralığına bakalım. Bu aralıktan düzgün dağılımla bir doğal sayı seçildiğinde onluk gösteriminde 4 sembolünü barındırmama olasılığını hesaplayalım.

İçerisinde 4 sembolünü barındırmayan ve $[0,10^n-1]$ aralığında bir sayıyı temsil eden her karakter dizisini $0 \mapsto 0, ..., 3 \mapsto 3, 5 \mapsto 4, ..., 9 \mapsto 8$ fonksiyonu ile içerisinde sadece 0'dan 8'e kadar sembolleri barındıran ve $[0,9^n-1]$ aralığındaki bir doğal sayıyı dokuzluk sistemde temsil eden bir karakter dizisine götürebiliriz. Ayrıca bu fonksiyon birebir ve örtendir. Demek ki $[0,10^n-1]$ aralığında onluk tabanda yazıldığında içinde 4 sembolünü barındırmayan sayıların sayısı $9^n$. Yani $[0,10^n-1]$ aralığından rastgele bir sayı seçtiğimizde onluk tabanda 4 sembolünü barındırma olasılığı $1-(9/10)^n$.

Şimdi $m \geq 10$ olmak üzere $[0,m]$ aralığından rastgele bir sayı seçtiğimizde ne olduğunu anlayalım. $n=\lfloor log_{10}(m) \rfloor$ olsun. $k$ pozitif tam sayısı da $k.10^n \leq m$ eşitsizliğini sağlayan en büyük sayı olsun.

Bu durumda $[0,10^n), [10^n,2.10^n),...,[(k-1).10^n,k.10^n)$ aralıklarından her biri (en az) $10^n-9^n$ tane onluk tabanda 4 sembolü barındıran sayı içerir. (Burada "en az" dememin nedeni $k \geq 5$ olduğu durumlarda $[4.10^n,5.10^n)$ aralığındaki her sayının 4 sembolünü barındırması.)

Demek ki

$[0,m]=[0,10^n) \cup [10^n,2.10^n)\ \cup ... \cup\ [(k-1).10^n,k.10^n) \cup [k.10^n,m]$

aralığında en az $k.(10^n-9^n)$ tane 4 sembolü barındıran sayı vardır. $c=m-k.10^n$ olsun ki bu durumda $c < 10^n$ olmalı. Yukarıdaki sayımın bir sonucu olarak $[0,m]$ aralığından bir sayı seçildiğinde 4 sembolü barındırma olasılığı en az

$\frac{k.(10^n-9^n)}{m} = \frac{k.(10^n-9^n)}{k.10^n+c} \geq \frac{k.(10^n-9^n)}{k.10^n+10^n}=\frac{k}{k+1} \cdot (1-(\frac{9}{10})^n)$

olmalı.

[Düzenlendi. Aşağıdaki yorumu okuyunuz.]
14, Mart, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

En son kısımda küçük bir hata var sanırım. n sayısı artarken k'nın da artması gerekmiyor. Dolayısıyla bu çözümü şimdilik "eksik" ilan edip daha sonra tamir etmek üzere bırakıyorum.

Çözümün tam olarak kanıtladığı şey, eğer soruda bahsedilen olasılık varsa, 1 olmalıdır (çünkü sadece $10^n-1$ sayılarını seçerek ilerleyip seçtiğim aralığı büyütürsem olasılıklar 1'e yakınsıyor). Ancak olasılığın var olması gerektiğini, yani m sonsuza giderken olasılıklarının limitin var olması gerektiğini kanıtlamıyor yukarıdaki çözüm. Sorun $[k.10^n,m]$ aralığındaki sayıları hiç göz önüne almamamdan kaynaklı sanırım. Biraz daha net bir hesap yapmaya çalışayım daha sonra.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1.soru: olasılık 1/sonsuz= 0 olur.

hatta örneğin bir [0,1] x [0,1] kartexyen düzlemde x=y olan (1. açıortay üzerindeki sozsuz noktan) nın seçimi de ve hatta 3 boyutlu bir uzayda bir düzlem üzerindeki herhangi bir noktanın seçimi de "0" olur.

2.soru: nerdeyse % 100 dür. İlk 10 sayıda 1/10, ilk yüz sayıda 19/100 yaklaşık 2/10 vs bütün sayılarda hemen hemen hepsinde 4 vardır.

13, Mart, 2015 ayhan (31 puan) tarafından  cevaplandı
...