$\pi=4$?

Question

1) Bir cember ciziniz.
2)Cevresi $4$ olan bir kare ile cevreleyiniz.
3)Koseleri tasiyiniz. Cevre hala $4$.
4)Daha fazla koseyi tasiyiniz. Cevre hala $4$.
5)Sonsuz kere tekrarlayiniz.
6)$\pi=4$.

Comments

Sanırım bu kareler istediğin kadar küçült çember yüzeyine dönüşmüyor  bu çemberi birdoğruya dönüşse 2.pi.r eşit değil, kareyi de bir doğruya dönüştürsen 4 e sonu olmayan bir küçültme yapsak ta yine oralar birer testere ucu olacak  

---

Bu işlemle çevreye değil alana yakınsama yapılıyor. bu nedenle böyle bir espri(şaka) oluşuyor :)

Answer 1

Bununla alakalı en güzel yazı herhalde Ali Nesin'in Matematik ve Sonsuz adlı kitabında yazılmıştır. O sebeple hiç utanmadan o yazıyı paylaşıyorum: (Hiç kısalmadan kısalan yol)

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/sonsuz_hickisalmadan.pdf

Fakat meselenin özü şurada yatıyor: Yolların uzunluklarının limiti (değişmiyor ve $4$'tür), yolların limitlerinin (çemberin ta kendisidir!) uzunluğuna (burada $\pi$'dir) eşit değildir. 

Daha güzel söyleyecek olursak:

Her adımdaki, meselâ $k$'ıncı adımdaki, yolu $c_k$ ile işâretleyelim. Yukarıdaki gözleme göre, her $k$ için $|c_k|=4$'tür. O halde, $$\lim_{k\rightarrow \infty}|c_k|=4$$ olduğu doğrudur.

Diğer taraftan, biraz kaba olacak ama, $c_k$ eğrileri de açıktır ki çembere yakınsayacak, $C$ ile gösterelim çemberi. Sembolik olarak: $$\lim_{k\rightarrow \infty}c_k\equiv C$$ yazayım affınıza mağrûren. Şimdi bu ifâdenin boyunu hesaplarsak, $\pi$ buluruz. Sonuçta şunu gösterdik: $$\lim_{k\rightarrow \infty}|c_k|\not =\Big|\lim_{k\rightarrow \infty}c_k\Big|.$$  

Bu ifadeyi görenler meselenin düzgün süreklilikle nasıl da sıkıca bağlı olduğunu anladılar! 

Sonuç: Mutlak değer fonksiyonu (ya da uzunluk fonksiyonu) limite saygılı değildir.

Not: Matematiksel olarak kaba oldu sanırım, kusura bakmayın. Ama açıklıyor meselenin özünü.