Süreklilikle alakalı bir sayılamazlık sorusu

3 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi

Diyelim ki $g:(0,1)\to \mathbb{R}$ sürekli (continuous) bir fonksiyon olsun. $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ de öyle bir fonksiyon olsun ki $D_f=\{x\in (0,1): \text{$f$, $x$'te süreksiz}\}$ kümesi boştan farklı ve kapalı ve $D_f$'nin her noktasında $f$'nin sağdan ve soldan limitleri farklı olsun. Eğer $$\{x\in (0,1): f(x)\neq g(x)\}$$ kümesi hiç bir aralık (interval) içermezse, gösteriniz ki $D_f$ kümesi sayılamaz (uncountable) olur.

21, Kasım, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
21, Kasım, 2015 Enis tarafından düzenlendi

Yani kısaca $D_f$ kümesi her zaman sayılamazdır.

Öyle midir? Biraz daha açar mısınız lütfen.

E interval içermiyorsa sayılamaz, interval içeriyorsa da otomatikman sayılamaz. Bu ikisinden başka da olasılık yok.

E interval içermiyorsa neden sayılamaz olmalı ki? Sonlu bile olabilir.

Tamam, o konuda itirazım yok. İddia diyor ki, interval içermiyorsa sayılamaz. İnterval içeriyorsa da sayılamaz. O halde iddia sadece şu şekilde söylenebilir:


Bu küme hep sayılamazdır.

$D_f$ kümesinden bahsetmiyorum burada ama. Aralık içerip içermediğini tartıştığım küme $\{x\in (0,1): f(x)\neq g(x)\}$ kümesi. Yani bu kümenin aralık içermesi durumunda $D_f$ hakkında ne söyleyebiliriz ki?

Haaaa, ok anladım zor da olsa :)

Bir cevap eklendi.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$h=f-g$ için, $D_h=D_f$ yani $f$ ile $h$'nin süreksiz olduğu noktalar kümesi aynı olmalı, çünkü $g$ sürekli. Ayrıca, $\{x\in (0,1): f(x)\neq g(x) \}=\{x\in (0,1): h(x)\neq 0\}$ eşitliği de sağlanmalı tabii ki. Demek ki $g=0$ olduğunu varsayabiliriz.

Kolaylık olması açısından $Q=\{x: f(x)\neq 0\}$ tanımlamasını yapalım. Varsayıma göre $Q$ kümesi bir aralık içermez, diğer bir deyişle her $(a,b)$ aralığı için, öyle bir $x\in (a,b)$ vardır ki $f(x)=0$ olur. 

İddia 1: Eğer $x\notin D_f$, o zaman $f(x)=0$ olur.

İspat: $x\notin D_f$ olsun. Varsayalım ki $f(x)=c\neq 0$. $D_f$ kümesinin tanımı gereği, $f$ fonksiyonu $x$ noktasında sürekli olmalı. Demek ki her $\epsilon>0$ için, öyle bir $\delta>0$ vardır ki $$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$ ifadesi sağlanır. O halde öyle bir $\delta>0$ vardır ki $$|x-y|<\delta\Rightarrow |c-f(y)|<\frac{|c|}{2}$$ ifadesi sağlanır. Demek ki $f(y)\neq 0$ imiş, aksi halde $|c|\leq \frac{|c|}{2}$ saçmalığını elde ederdik. Demek ki her $y\in (x-\delta,x+\delta)$ için $f(y)\neq 0$ imiş. Ama yukarıdaki açıklamadan biliyoruz ki bu mümkün değil. O halde $f(x)=0$ olmalı.

İddia 2: $D_f$ kümesinin ayrık (isolated) noktası yoktur.

İspat: Diyelim ki $x_0\in D_f$ noktası ayrık olsun. Bu durumda öyle bir $\epsilon>0$ vardır ki, $$((x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\setminus \{x_0\})\cap D_f=\emptyset$$ bir diğer deyişle $$(x_0-\epsilon,x_0)\cap D_f=\emptyset\ \ \ \ \text{ve} \ \ \ \ (x_0,x_0+\epsilon)\cap D_f=\emptyset .$$

Şimdi bir $y\in (x_0-\epsilon, x_0)$ elemanı alalım. $(x_0-\epsilon,x_0)\cap D_f=\emptyset$ olduğundan, $y\notin D_f$ olmalı. İddia 1'den, $f(y)=0$. Demek ki, $$\lim_{x\to {x_0}^{-}} f(x)=0. \ \ \ (1)$$

Benzer olarak bir $z\in (x_0,x_0+\epsilon)$ elemanı alalım. $(x_0,x_0+\epsilon)\cap D_f=\emptyset$ olduğundan $z\notin D_f$ olmalı. İddia 1'den, $f(z)=0$. Demek ki $$\lim_{x\to {x_0}^{+}} f(x)=0. \ \ \ (2)$$

(1) ve (2)'ye göre $x_0\in D_f$ elemanının sağ ve sol limitleri aynı. Varsayıma göre böyle olamaz. Demek ki $D_f$ kümesinden ayrık nokta yok.

O halde $D_f$ kümesi hiç ayrık noktası olmayan kapalı bir küme, yani $D_f$ kümesi bir mükemmel (perfect) küme. Bebek Rudin'in (Principles of Mathematical Analysis) 2.43 numaralı savı der ki bir mükemmel küme sayılamaz olmalı!

1, Ocak, 2016 Enis (1,075 puan) tarafından  cevaplandı
2, Ocak, 2016 Enis tarafından düzenlendi
...