Question

Polinom uzayı üzerinde iki tane denk norm bulabilir miyiz?

Answer 1

Polinom uzayı üzerinde herhangi bir norm $$||\cdot||_1$$ olsun. $\alpha>0$ olmak üzere $$||p||_2:=\alpha\cdot||p||_1$$ kuralı ile verilen $$||\cdot||_2$$  fonksiyonu da $X$ üzerinde bir normdur ve $$||\cdot||_1$$ normu ile $$||\cdot||_2$$ normu denktir.

Tanım: $X:=[(X,\oplus),\odot,(F,+,\cdot)]$ vektör uzayı ve $||\cdot||_1$ ile $||\cdot||_2$ fonksiyonları $X$ vektör uzayı üzerinde iki norm fonksiyonu olmak üzere

$$||\cdot||_1 \text{ ile } ||\cdot||_2 \text{ denk}:\Leftrightarrow (\exists k>1)(\forall x\in X)\left(\frac{1}{k}\cdot ||x||_1\leq ||x||_2\leq k\cdot ||x||_1\right)$$

Not: Buradaki $(F,+,\cdot)$ cismi bir sıralı cisim.