Kümelerin gösterimi

Question

 {1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,5} şeklinde bir küme olur mu? Neden her elemanın kümeden bir kez yazılması zorunlu.Tanımını tam yapamadığımız bir kavramda bu neden olmuyor?

Comments

turkcesini bilmiyorum ama "multi-set" diye bir kume tanimi da var.. tam olarak bu kumeyi bu tanimda tanimliya biliyoruz.. hatta programlama dillerinde bile var.. Bir matematik programlama dili olan magma'da bile..

http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/search?query=multiset&chapters=1&examples=1&intrinsics=1

burdan da biraz bakilabilir.. 

Answer 1

Bildiğimiz kümelerin en temel özelliklerinde birisi şudur:

$A$ kümesi ile $B$ kümesi birbirine eşittir ancak ve ancak $A$ ve $B$ kümeleri tam olarak aynı elemanlara sahiplerse.

Dolayısı ile bir kümeyi belirleyen şey sahip oldukları elemanlardır. Bu yüzden bir kümeyi ifade ederken küme parantezi içinde kümenin elemanlarını virgülle ayırarak yazdığımız gösterimi kullanırız. Bu gösterimde geleneksel olarak elemanların her biri bir kez yazılır ve tabi ki $\{1, 3, 5\}$ kümesi ile $\{3,1,5\}$ kümesi eşit olur. Tabi ki dilerseniz geleneğin dışına çıkıp elemanları birden fazla kez yazabilirsiniz $\{1,1,3,3,3,5\}$ ama bu küme bildiğimiz kümeler kuramında (ki bildiğimiz kümeler kuramının dışına çıkmak için geçerli sebepler ancak çok spesifik araştırma alanlarında bulunabilir, ortalama bir akademisyen için de buranın dışında çalışmayı gerektirecek zorunluluklar yoktur) yine $\{1,3,5\}$ kümesine eşit olur.

Fakat şu tabi ki olağan. Mesela bir torbada 2 adet mavi top, 3 adet kırmızı top bir adet de yeşil top olsun. Bu torbanın içindekileri topları göstermek için sırasız olarak $M,M,K,K,K,Y$ listesini kullanabilirsiniz. Fakat bu sırasız liste bildiğiniz küme ile aynı şey değildir. Bunun farkında olarak $\{M,M,K,K,K,Y\}$ gösterimini kullanabilir, bu gösterimin kolaylıklarından istifade edebilirsiniz ama bu gösterimi bildiğimiz kümelerle karıştırmamak kaydıyla.

Comments

     Teşekkür ederim Salih hocam.  Cevabınızı dikkatle okudum. Geleneğin dışına çıkarak demekle ne demek istediğinizi bilmiyorum. Ama bir matematikçinin düşünsel olarak sınırlandırılması ne kadar doğru olur. Size kümenin tam ve kesin bir tanımı var mı desem, muhtemelen yok diyeceksiniz. Bazı kaynaklarda verilen "Küme;belirli nesneler topluluğudur" şeklindeki tanım acaba ne kadar doğru? 

      Daha tanımını bile tam olarak yapamadığımız bir kavramla ilgili yeni arayışlar neden geleneksel yapıya aykırı olsun ki.

      Örneğin; {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin elemanları ile üç basamaklı,rakamları farklı,kaç farklı sayı yazılır? şeklinde (siteye de yazılan ve) çok fazla sorulan soru ve bunlara verilen cevapları( hatta bazılarına ben de cevap verdim) görmüşsünüzdür. Şimdi bu sorudaki "rakamları farklı" ifadesine gerek var mı? Geleneksel olarak yazılan kümeler kuramına göre yoktur. Çünkü her elemandan zaten bir tane var. 

        Bu soruyu çözdüğümüzü düşünelim. Çözümün 7.6.5=210 olduğu konusunda hem fikir isek, o zaman da şöyle bir soru aklıma geliyor. Bu 210 adet sayı listelense, acaba kaç tane 1 ?, kaç tane 2 ?,...kullanılmıştır. Hani bunlardan elimizde birer adet vardı? Nasıl olur da bir adet olan bir rakamı, bir kaç sayıda kullandık? Eğer sanal alemin elemanlarından olan rakamları kullanmada herhangi bir sınırlama yoktur diye düşünülürse, o zaman da verilen kümenin eleman sayısı( bize 7 elemanlı olarak verilen) için ne diyeceğiz acaba? Kısaca bu konu üzerinde tartışılacak önemli bir konudur. Ayrıca bu konudaki sıkıntılar, kümeler temelli diğer her konuda da ele alınmalıdır.Benim de asıl gündeme getirmek istediğim husus zaten bu idi.