Trigonometri

Question

Sin(30+x) + sin(60-x) = a

Olduguna gore cos(30 + x).cos(60-x) ifadesinin a cinsinden degeri nedir?

Answer 1

$$\left(\sin(30+x)+\sin(60-x)\right)^2=a^2\Rightarrow \left(\sin(30+x)+\cos(90-(60-x))\right)^2=a^2$$

$$\Rightarrow$$

$$\left(\sin(30+x)+\cos(30+x)\right)^2=a^2$$

$$\Rightarrow$$

$$\sin^2(30+x)+\cos^2(30+x)+2\cdot \sin(30+x)\cdot \cos(30+x)=a^2$$

$$\Rightarrow$$

$$1+2\cdot \sin(30+x)\cdot \cos(30+x)=a^2$$

$$\Rightarrow$$

$$\sin(30+x)\cdot \cos(30+x)=\frac{a^2-1}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$\cos(90-(30+x))\cdot \cos(30+x)=\frac{a^2-1}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$\cos(60-x)\cdot \cos(30+x)=\frac{a^2-1}{2}$$

Answer 2

$sin(a)=cos(90-a)$

ve $sin(a)^2+cos(a)^2=1$

bu iki bilgi ışığında

sin(30+x)=con(60-x)=m ve sin(60-x)=cos(30+x)=n olsun

soruda m+n=a olarak verilmiş

en baştaki ifadeye bakarsak aslında bizden

n.m sonucunu istiyor

m+n=a ve $n=\sqrt{1-m^2}$

verilen ifadenin karesini alalım

$m^2+n^2+2mn=a^2$

$m^2+(1-m^2)+2mn=a^2$

$1+2mn=a^2$

$mn=\frac{a^2-1}{2}$

Answer 3

1. Ön bilgi: sin(y) = cos(90-y)

sin(60-x) = cos(30+x)

sin(30+x) + cos(30+x) = a

Her iki tarafın karesini alınca

sin²(30+x) + 2.sin(30+x).cos(30+x) + cos²(30+x) = a²

2. Ön bilgi: sin²(y) + cos²(y) = 1

1 + 2.sin(30+x).cos(30+x) = a²

sin(30+x).cos(30+x) = ( a² - 1 )/2

sin(30+x) = cos(60-x)

cos(60-x).cos(30+x) = ( a² - 1 )/2