$\left( x_{n}\right) _{n}$ dizisi Cauchy ise $\left( \left| x_{n}\right| \right) _{n}$ dizisi de Cauchy'dir.

Question

Kanıt. $\varepsilon > 0$ olsun. Eğer $\left( x_{n}\right) _{n}$ dizisi Cauchy ise öyle bir $N$ doğal sayısı olmalı ki her $n,m > N$ için $\left| x_{n}-x_{m}\right|  < \varepsilon$ eşitsizliği sağlansın.

      $\left| \left| x_{n}\right| -\left| x_{m}\right| \right| \leq$ $\left| x_{n}-x_{m}\right|  < \varepsilon$

O zaman $\left( \left| x_{n}\right| \right) _{n}$ de Cauchy 'dir (?).

Comments

İspat doğru, sorun yok ki!

---

Cık.  

 Kanıt. $\varepsilon > 0$ olsun. Eğer $(x_{n})_{n}$ dizisi Cauchy ise öyle bir $N$ doğal sayı vardır ki her $n,m > N$ için $\left| x_{n}-x_{m}\right| <\varepsilon$ eşitsizliği sağlanır.

   O zaman, üçgen eşitsizliğinden, $\left| \left| x_{n}\right| -\left| x_{m}\right| \right| \leq \left| x_{n}-x_{m}\right| < \varepsilon$ olur.

Şimdi oldu.                                                                                                           $\square$