Question

$\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{-2}\,\sqrt{-3}}$

Comments

Soru ne? Soruyu sormamışsın.

---

A sormayın unutmuşum :/ a+bi formatinda yazımı gerekiyor galiba eşlenikle çarpma adımında bir hata yapıyorum

Answer 1

Yukarıdaki cevabıma eklenen soru sanırım ayrı bir madde olmaya hak kazanıyor.

Gerçel sayılarda karesi 4 olan iki sayı vardır, 2 ve $-2$. Bunlardan biri diğerinden daha büyüktür; dolayısıyla gerçel sayılarda iki karekökten biri seçilebilir. Ve bu seçim çok doğaldır. Gerçel sayılarda kök alma işlemi iyi tanımlanmıştır çünkü iki kökten pozitif olanını seçebiliriz. Bu nedenle $\sqrt{4} = 2$ olur, $-2$ olmaz.

Oysa pozitif karmaşık sayı diye bir şey yok, dolayısıyla aynı yöntemi kullanamayız. Aslında şansımız yaver gidecek ve iki kökten birini seçebileceğiz, ama seçimimiz sorunlara gebe olacak.

Bir $z$ karmaşık sayısı alalım. Eger $z = 0$ ise $\sqrt{z} = 0$ olur tabii ki. Bundan böyle $z \neq 0$ varsayımı yapalım. $r > 0$ ve $\alpha\in [0, 2\pi)$ olmak üzere 

$$z = re^{i\alpha}$$ olarak yazalim. Bu turden yazılıma $z$'nin poler yazılımı diyelim. Kolaylık olsun diye $r = 1$ alalım. Eğer bu durumda iki karekökten birini seçebilirsek, o zaman $r$'nin 1 olmadigi durumda da seçebiliriz. $z = e^{i\alpha}$ sayısı,
$$x = e^{i\alpha/2} \hbox{ ve } y = -e^{i\alpha/2}$$
sayılarının karesidir. Bu ikisinden birini seçmeliyiz. Hangisini? Eksi işaretine aldanıp biri negatif, diğeri pozitif, pozitif olanı seçeyim demeyin. Çünkü karmaşık sayılarda pozitiflik diye bir şey yok. (Bu $x$ ve $y$ sayılarını karmaşık düzlemde birim çemberin üstünde göstermek yararlıdır, aralarında $\pi$ derece kadar fark vardır, yani $(0,0)$ noktasına göre simetriktirler.) Yukarıdaki gösterimde, $x$ sayısı standart poler formunda da, $y$ değil. $y$ sayısının standart poler yazılımını bulalım: 

$$y = -e^{i\alpha/2} = e^{i\pi}e^{i\alpha/2} = e^{i(\pi+\alpha/2)}$$

olur. Demek ki $z$'nin karekökü olarak,

$$x= e^{i\alpha/2} \hbox{ ile } e^{i(\pi+\alpha/2)}$$
sayılarından birini seçmeliyiz. Bir başka deyişle $\alpha/2$ ile $\pi + \alpha/2$ sayılarından birini seçmeliyiz. Belli bir kurala göre seçebilir miyiz? Evet: $\alpha$ açısı $[0, 2\pi)$ aralığında olduğundan, $\alpha/2$ acisi $[0, \pi)$ aralığında ve $\pi + \alpha/2$ açısı $[\pi, 2\pi)$ aralığındadır. Bu açılardan biri $[0, \pi)$ aralığında, diğeri $[\pi, 2\pi)$ aralığında. Biz hep $[0, \pi)$ aralığındaki açıyı seçelim. En doğal seçim bu sanki. Demek ki
$$\sqrt{z} = \sqrt{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha/2}$$
tanımını kabul etmeye karar verdik.

Eğer $\alpha$ açısı $0$'a çok yakınsa, yani $z$, 1'e çok yakınsa ama $1$'in üstündeyse (birim çemberde gösterin), $\sqrt{z}$ de 1'e cok yakin olur, hatta 1'e $z$'den daha yakın olur çünkü ne de olsa $\alpha > \alpha/2 > 0$. Öte yandan eger $\alpha$ açısı $2\pi$'ye çok yakınsa, yani $z$, 1'e çok yakınsa ama 1'in altındaysa, $\sqrt{z}$ bu sefer $-1$'e çok yakın olur, çünkü $\alpha/2$ bu sefer $\pi$'ye çok yakın. Yani tanımladığımız kök alma fonksiyonu $z = 1$'de sürekli değil. Kök alma fonksiyonu karmaşık sayılarda tanımlanabilir ama her yerde sürekli olmaz. Bu tanımı uygularsanız $\sqrt{i}$ sayısı şöyle bulunur:

$$\sqrt{i} = \sqrt{e^{i\pi/2}} = e^{i\pi/4}.$$

Comments

Bir kaç küçük yazım hatasını düzelttim.

---

Teşekkürler Doğan Hocam.

Answer 2

Soruyu hâlâ anlamadım ama eksili sayıların kökleriyle oynarken dikkat etmeli:

$$\sqrt{-1} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{1}{\sqrt{-1}}$$

ve her iki tarafı da $\sqrt{-1}$ ile çarparak $-1 = 1$ buluruz. Ya da

$$1=\sqrt{1} = \sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2 = -1.$$

Comments

Karekökten çıkan her değer $\pm$ olarak ifade edilir.

$1=-1$ demeniz bu yüzden hatadır.

---

Bu sorunu aşağıda (ya da yukarıda, bilmiyorum) yanıtladım.

Answer 3

Biraz önce anlatılanlardan, eğer $a \geq 0$ bir gerçel sayıysa, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ çıkar. Demek ki

$$\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{-2}\sqrt{-3}}= \frac{i\sqrt{5}}{i\sqrt{2}\,i\sqrt{3}}= -i\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.$$