Question

Elimizde ∃x∃yRxy ve ∀x[∃yRxy→∀yRyx] olmak üzere iki adet öncül var ise ∀x∀yRxy sonucuna mantıksal olarak varırız. Bunu gerçekleyecek bir somut R bağıntısı bulabilir misiniz ?

Answer 1

$A=\{a\}$ tek elemanli bir kume ve $R=\{(a,a)\}$ bagintisi olsun. Bu ornek yazilan sartlari sagliyor. 

Biraz daha dogal bir ornek dogalsayilar kumesi $\mathbb N$ ve $R = \mathbb N \times \mathbb N$.

En genel haliyle bos olmayan herhnangi bir $A$ kumesi ve $R=A\times A$ yazilan sartlari saglar.

Comments

ilk paragraf durumu sağlarken ikinci paragraftaki "boş olamayan herhangi bir küme" ibaresi "herhangi  tek elemanlı bir küme" düzeltmesiyle doğru olacak kanısındayım. Ne dersiniz ?

---

elbette boş olmayan bütün tek elemanlı kümeler için doğru. O zaten verdiğim ilk örnek. Boş olmayan herhangi bir $A$ kümesi için $R=A\times A$ bağıntısı ile de doğru. $\exists y R(x,y) \rightarrow \forall y R(x,y)$ ifadesi $\forall y \neg R(x,y) \vee \forall y R(x,y)$ ifadesine denk. Veya ile bağlanan bu ifadenin ikinci -yani $\forall y R(x,y)$- kısmı her $x\in A$ için doğru ($R=A\times A$ aldığımız için). Yani $\forall x(\exists R(x,y) \rightarrow \forall y R(x,y))$ ifadesi doğru.

---

R=A x A ifadesi A kümesin birden fazla elemanı olması durumunda yanlış olacağından dolayı diyorum A kümesi ille de tek elemanı  olması gerekmeyecek mi. Öyle olunca da "Herhangi bir küme"" ifadesi yerine  "tek elemanlı herhangi bir küme" demek daha doğru olmayacak mı?

---

"$R=A\times A$ ifadesi $A$ kümesi birden fazla eleman olması durumunda yanlış olacağından" derken ne kast ettiğiniz anlayamadım doğrusu. $R$ bir bağıntı değil mi? Tanım gereği herhangi bir $A$ kümesi üzerindeki bir bağıntı $A\times A$ kümesinin bir alt kümesi değil mi? Bu durumda $A\times A$ da elbette $A$ küemsi üzerine bir bağıntıdır. "Koordinatları" $A$ kümesinden olan bütün sıralı ikilileri alıyorum bağımtım olarak. Yani $A$ kümesinin herhangi iki elemanı birbiri ile bağıntılı olacak. $A$ neden tek elemandan oluşmak zorunda olsun ki?  

---

Benim sorumda somut bir model arayışı vardı. Mesela "(1,=)" böyle bir model sorumun somut örneğini karşılar. fakat "(N,=)" ifadesi sağlamaz çünkü ikinci ifade N'nin elemanı olan herhangi x ve y ler için "X her ne olursa olsun bazı y lere eşit ise tüm y ler tüm x lere eşittir " yani "ise" ifadesinin sağ tarafının doğru yapan her önerme tüm ifadeyi doğru yapar. Ki sizde böyle söylemiştiniz zaten. Ama bahsettiğiniz örnekteki A kümesi somut bir örnek midir? R nasıl bir bağınıtıdır ki R=AxA daki A nın herhangi iki elemanı için yukarıdaki önermeler doğru olsun. Sorum somut bir yapı üzerineydi. 

---

Elbette $(\mathbb N, =)$ istediginiz sartlarin somut bir modeli degil. Lakin benim onerdigim model de bu degil zaten! Sizin de yazdiginiz gibi $R$ bagintisini esitlik yani $\{(x,x): x\in\mathbb N\}\subset \mathbb N\times \mathbb N$ alirsaniz bahsettiginiz onerme dogru olmaz. Fakat dedigim gibi benim bagintim zaten bu degil.

$A$ yerine istediginiz herhangi bir kume alin, yeter ki bos olmasin (mesela $\mathbb N, \mathbb Z. \mathbb R, \mathbb C,...$), $R$ bagintisi da $\{(x,y): x,y\in A\}$ olsun. Bu baginti verdiginiz sartlari sagliyor ve $A\times A$ kumesinden baska birsey degil. 

Sanirim $A\times A$ bagintisinin esittir, kucuktur, kucuk esittir falan gibi alisildik bir adi olmadigi icin yardigiyorsunuz. $R=A\times A$ bagintisi tam olarak $A$ kumesinin herhangi iki elemani icin $R(x,y)$ kosulunu saglayan bagintidir. Bir baska deyisle $A\times A$ kumesi $x$ ve $y$, $A$'nin elemanlari olmak uzere butun sirali $(x,y)$ ikililerini icerene kumedir. Bu da bir bagintidir.

---

"∀x∀yRxy" gibi bir sonuca varıyorsak öncüllerden bu sizinde söylediğiniz gibi

her bağıntı için zaten doğrudur. Aradaki anlaşmazlık sadece "somut örnek " 

tartışması ben alışılmış bir bağıntı peşindeydim. Zahmetiniz için teşekkürler. 

Answer 2

"$\exists x \exists y R(x,y)$ ve $\forall x(\exists y R(x,y)\rightarrow \forall y R(y,x))$ oncullerinden $\forall x \forall y R(x,y)$ sonucuna mantiksal olarak variriz" onermesinden dolayi $A \times A$ disinda herhangi bir bagintin bunu gerceklemesi mumkun degil. $\forall x \forall y R(x,y)$ ifadesinin dogrulugu direkt olarak $A\times A$ bagintisini veriyor.