Box (Kutu) ve Product (Çarpım) Topolojileri

1 beğenilme 0 beğenilmeme
187 kez görüntülendi

Kutu(box) ve çarpım(product) topolojileri arasında ne fark var? Bilgi verebilir misiniz?

20, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde ozlemakman (36 puan) tarafından  soruldu
4, Haziran, 4 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Ikisi arasindaki tanimsal fark:

$X=\prod X_{\alpha}$ olsun (indis sonsuz). Her $\alpha$ icin $U_{\alpha} \subsetneq X_{\alpha}$ acik kumelerini alalim. Bu durumda $U=\prod U_{\alpha}$ kutu topolojisinde acik iken carpim topolojisinde acik degildir. Cunku carpim topolojisinde sonlu $\alpha$ indisi haric $U_{\alpha} = X_{\alpha}$ olmalidir.

Sureklilik ve tikizlik carpim topolojisinde saglanirken kutu topolojisinde saglanmayabilir. (Kutu topolojisinde daha cok acik kume var!)

Klasik ornekleri: 
Sureklilik icin: $\mathbb R\to \mathbb R^\omega $ olarak $f(x)=(x,x,x,\cdots)$fonksiyonunun surekliligi,
Tikizlik icin: $X_i=\{0,1\}$ ve indis kumesi $\mathbb N$ olmak uzere uzayin tikizligi.
20, Ekim, 2015 Sercan (23,703 puan) tarafından  cevaplandı

I indis kümesi sonlu iken kutu ve çarpım topolojileri arasında bir fark olmadığını vurgulayalım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{A}_i:=\left\{\pi_i^{-1}[U_{i_{j_i}}]\Big{|}U_{i_{j_i}}\in\tau_i\right\}$ olmak üzere $$\mathcal{A}:=\bigcup\mathcal{A}_i$$ ailesinin doğurduğu topolojiye (boştan farklı) $$X=\prod_{i\in I} X_i$$

kümesi üzerindeki çarpım topolojisi denir.

Tanım: $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{\prod_{i\in I}U_{i_{j_i}}\Big{|}U_{i_{j_i}}\in\tau_i\right\}$$ ailesi,

$$X=\prod_{i\in I} X_i$$ kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır.(Neden?) Bu $$\mathcal{B}$$ ailesinin doğurduğu topolojiye $$X=\prod_{i\in I} X_i$$ kümesi üzerindeki kutu (box) topoloji denir.

Son olarak $$|I|<\aleph_0$$ ise $X$ kümesi üzerindeki çarpım topolojisi ile kutu topolojisi çakışır. Genel olarak kutu topolojisinin açıklarının çarpım topolojisinin açıklarından daha çok yani kutu topolojisinin çarpım topolojisinden daha ince olduğunu görmek zor olmasa gerek.

21, Mart, 2016 murad.ozkoc (8,851 puan) tarafından  cevaplandı
11, Haziran, 11 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...