Bir sayının önemi

Question

Dört basamaklı ve rakamlarının hepsi aynı olmayan bir $a$ sayısı alınız (Örnek: $7112$). $a$'nın rakamlarının yerlerini değiştirerek elde ettiğiniz en büyük sayıyı $\bar{a}$ ile, en küçüğünü de $\underline{a}$ ile gösterip $b=\bar{a}-\underline{a}$ farkını bulunuz. $a$ için yaptığınızı $b$ için de tekrarlayıp $c=\bar{b}-\underline{b}$ farkını hesaplayınız. Böylece devam edildiğinde, sonlu adım sonunda hangi sayıya rastlarsınız?

Birkaç sayı için deneyip hep aynı sayıya rastlandığını ve bu rastlantının bir rastlantı olmadığını ispatlayınız.

Comments

Matematik alaninda guzel (daha dogrusu harika) sorular olarak (galiba matematik bilmeyenler tarafindan) hazirlanmis ufak yazilarda bu soru da oluyor genelde. (Muhtesem degil ama eglenceli kategorisine koysalar aslinda, elestirim bu yonde).

Sonucu gercekten sasirtici. Genelde (ispatsiz) sadece bir iki orneginin verildigini gordum. O nedenle bu sorunun ispat istemesi iyi olmus.

Ipucu olarak: $a$ sayisinin araligi $1000$ ile $9999$ (kisitlamalarla hafif az). Fakat $b$ sayisi icin cok az secenek var. 

---

İpucu: Kaprekar rutini

Answer 1

Kendi sorumu yanıtlayayım:

Ele aldığımız dört basamaklı sayımız $abcd$ olsun ve $9 \geq a \geq b \geq c \geq d \geq 0$ olmalı ve $a \neq b \neq c \neq d \neq 0$ olmalıdır.

Çıkarma işleminde elde edeceğimiz (eğer bir dört basamaklı bir sayı varsa(!)) bu son sayımız da $ABCD$ olsun.

$abcd-dcba=ABCD$

$d<a$ olduğundan birler basamaktaki çıkarma işleminden $D=10+d-a *$ gelir.

Benzer şekilde

$C=10+c-1-b=9+c-b* \\ B=b-1-c *\\ A=a-d *$

bulunabilir.

$A=a$ olsa, $d=0$ olur ve $D=10-a$ bulunur.

$A=d$ ve $D=a$ veya $d$ durumunda elde birden fazla çözüm olur.

Biz şu haliyle $A$ ve $D$'yi $b$ ve $c$'den biri gibi ele alalım.

$[A,D]=\{[b,c],[c,b]\}$ kümesi olsun.

Benzer şekilde $[B,C]=\{[a,d],[d,a]\}$ olur.

$B=a$ olsa,

$b-c-1=a \\ b-c=a+1 \\ b-c > a$

olur ki, aslında $a \geq b \geq c$ olduğundan, $a>b-c$ olmalıdır. Yani $B \neq a$ olmalıdır.

$[A,D]$ için $A=c$ olsa, $D=b$ olduğunda, $a=-\frac{19}{5}, b=\frac{38}{5},c=-\frac{26}{5},d=\frac{7}{5}$ olarak tamsayı bulamayız.

Bu yüzden tek çözüm, $A=b$, $B=d$, $C=a$ ve $D=c$ olduğu durumdur veya $ABCD=bdac$'dir.

Yukarıdaki eşitliklerden $(*)$ $a=7$, $b=6$, $c=4$ ve $d=1$ bulunur ve $ABCD=6174$'tür.

Yukarıda tanımlanan işlemlerde ele alınan tüm rakamları birbirinden farklı bir dört basamaklı sayı her zaman $6174$ sayısına gider.

Bu işlemin adı Kaprekar Rutini'dir.

Gerekli açıklamayı şu linkte bulabilirsiniz.

Diğer sorum olan üç basamaklı sayı işlemi için yanıtı siz yapınız: Bkz. http://matkafasi.com/27754/bir-sayinin-onemi-%232