Kendi sorumu yanıtlayayım:
Ele aldığımız dört basamaklı sayımız $abcd$ olsun ve $9 \geq a \geq b \geq c \geq d \geq 0$ olmalı ve $a \neq b \neq c \neq d \neq 0$ olmalıdır.
Çıkarma işleminde elde edeceğimiz (eğer bir dört basamaklı bir sayı varsa(!)) bu son sayımız da $ABCD$ olsun.
$abcd-dcba=ABCD$
$d<a$ olduğundan birler basamaktaki çıkarma işleminden $D=10+d-a *$ gelir.
Benzer şekilde
$C=10+c-1-b=9+c-b* \\ B=b-1-c *\\ A=a-d *$
bulunabilir.
$A=a$ olsa, $d=0$ olur ve $D=10-a$ bulunur.
$A=d$ ve $D=a$ veya $d$ durumunda elde birden fazla çözüm olur.
Biz şu haliyle $A$ ve $D$'yi $b$ ve $c$'den biri gibi ele alalım.
$[A,D]=\{[b,c],[c,b]\}$ kümesi olsun.
Benzer şekilde $[B,C]=\{[a,d],[d,a]\}$ olur.
$B=a$ olsa,
$b-c-1=a \\ b-c=a+1 \\ b-c > a$
olur ki, aslında $a \geq b \geq c$ olduğundan, $a>b-c$ olmalıdır. Yani $B \neq a$ olmalıdır.
$[A,D]$ için $A=c$ olsa, $D=b$ olduğunda, $a=-\frac{19}{5}, b=\frac{38}{5},c=-\frac{26}{5},d=\frac{7}{5}$ olarak tamsayı bulamayız.
Bu yüzden tek çözüm, $A=b$, $B=d$, $C=a$ ve $D=c$ olduğu durumdur veya $ABCD=bdac$'dir.
Yukarıdaki eşitliklerden $(*)$ $a=7$, $b=6$, $c=4$ ve $d=1$ bulunur ve $ABCD=6174$'tür.
Yukarıda tanımlanan işlemlerde ele alınan tüm rakamları birbirinden farklı bir dört basamaklı sayı her zaman $6174$ sayısına gider.
Bu işlemin adı Kaprekar Rutini'dir.
Gerekli açıklamayı şu linkte bulabilirsiniz.
Diğer sorum olan üç basamaklı sayı işlemi için yanıtı siz yapınız: Bkz. http://matkafasi.com/27754/bir-sayinin-onemi-%232