Question

Fonksiyon cisimlerine fonksiyon cisimi denmesinin sebebi nedir? Icindeki cebirsel elemanlara neden bu cismin sabitleri deniliyor?

Comments

kitabin onceki sorulari icin: link.

Answer 1

$P$ yerleskesi $F/K$ fonksiyon cisminin bir yerleskesi olsun, yani $\deg P=1$ olsun. ($\deg P := [F_P :K]$ oldugunu ve $F_P := \mathcal O_P/P$ oldugunu hatirlayalim). $\deg P=1$ demek $[F_P:K]=1$ demek, yani $F_P=K$ demek.

Artik kalan fonksiyonumuz $F$ cisminden $\mathcal (O_P/P) \cup \{\infty\}$ kumesineydi. Eger yerleskemiz rasyonel ise fonksiyonumuzun goruntu kumesi ilk paragraftan dolayi $K \cup\{\infty\}$kumesi olur.

Ozel olarak cebirsel kapali cisimleri dusunursek (bunlarin sonlu bir genislemesi olmayacagindan) tum yerleskelerinin derecesi $1$ olur ve $F$ cisminin herhangi bir $z$ elemanini $$z \: : \: \begin{cases}\mathbb P_F &\to K \cup \{\infty\}\\ P &\to z(P)\end{cases}$$ fonksiyonu olarak gorebiliriz.

Bu da bu cisimlere neden fonksiyon cisimleri dediklerinin sebebi. (Kitabin yazari oyle diyor). $K$ cismimiz cebirsel kapali oldugundan $\tilde K=K$ olur. Yukaridaki fonksiyonlardan sabit fonksiyon veren $F$ cisminin elemanlari aslinda $K=\tilde K$ cisminin elemanlari, bu da neden $\tilde K$ cismine $F/K$ fonksiyon cisimlerinin sabitleri dediklerinin sebebi.

Bu yaklasim bize su tanimi yapmamiza da olanak sagliyor:

Tanim 1.1.18: $z \in F$ ve $P \in \mathbb P_F$ olsun. Eger $\mathcal v_P(z)>0$ ise $P$ yerleskesine $z$ elemaninin sifiri, eger $\mathcal v_P(z)<0$ ise  $P$ yerleskesine $z$ elemaninin kutubu diyecegiz. Eger $\mathcal v_P(z) =m>0$ ise $P$ yerleskesine $z$ elemaninin derecesi $m$ olan sifiri, eger $\mathcal v_P(z)=-m<0$ ise  $P$ yerleskesine $z$ elemaninin derecesi $m$ olan kutubu diyecegiz.