Kümeler teorisi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
90 kez görüntülendi

Q'nun sayılabilir ve R'nin sayılamaz olduğunu ispatlayınız. 

10, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde mrs (32 puan) tarafından  soruldu
10, Ekim, 2015 Burak tarafından yeniden etikenlendirildi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunlar ödev soruları mı? Siz neler denediniz bizle paylaşın, biz de yardım edebiliriz. Ayrıca soruda neden "fonksiyonel analiz" etiketi vardı bilemiyorum ama madem öyle soruyu da bu alanda sık kullanılan Baire kategori teoremi ile çözelim!

Her $x \in \mathbb{R}$ için $\mathbb{R}-\{x\}$ kümesi açık ve yoğun bir kümedir. $\mathbb{R}$ tam bir metrik uzay olduğuna Baire kategori teoremi gereği sayılabilir açık yoğun kümenin kesişimi yoğundur.

Eğer $\mathbb{R}$ sayılabilir bir küme olsaydı $\bigcap_{x \in \mathbb{R}} \mathbb{R}-\{x\}$ kümesinin $\mathbb{R}$ içerisinde yoğun olması gerekirdi ancak bu küme boştur.

(Sitede bir yerlerde gerçel sayıların sayılamazlığının "standart" kanıtının da olduğuna eminim.)

Rasyonel sayıların sayılabilirliği içinse rasyonel sayılardan $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ kümesine birebir bir fonksiyon inşa etmeyi deneyin.

10, Ekim, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
10, Ekim, 2015 Burak tarafından düzenlendi
...