Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
83.2k kez görüntülendi

image

Serbest kategorisinde (621 puan) tarafından  | 83.2k kez görüntülendi

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Yanıt ek önbilgi gerektirmesin diye (neredeyse) tüm ilgili kavramları yazmaya çalışacacağım. Haliyle uzun olabilir.
(Dedim ama çok eksik var, toparlayan olursa çok memnun olurum)

C hep bir cisim, V de hep bir vektör uzayı olsun.

Tanım(karakteristik):C cisminin birim elemanını 1 ile gösterelim. nN için ni=11'yi sıfıra eşit yapan en küçük n sayısına C'nin karakteristiği denir ve kar(C)=n olarak gösterilir. Şayet her nN için ni=110 geçerliğiyse, C'nin karakteristiği 0 olarak tanımlanır.

Tanım(çifte doğrusal form, ingl. bilinear form): f:V×VC göndermesine, eğer her x,y,zV ve her λC aşağıdaki şartları sağlarsa çifte doğrusal form denir:
f(λy+z,x)=λf(y,x)+f(z,x)f(x,λy+z)=λf(x,y)+f(x,z)
Ayrıca x,yV:f(x,y)=f(y,x) ise f'ye simetrik çifte doğrusal form denir.

Tanım(karesel form, ingl. quadratic form):  q:VC göndermesine, eğer aşağıdaki şartları sağlarsa karesel form denir:
q(λx)=λ2q(x), xV ve λC
fq:V×VC,fq(x,y)=q(x+y)q(x)q(y) bir çifte doğrusal form tanımlar. (*)
Ayrıca yukarıdaki bağıntıyı geçerleyen fq çifte doğrusal formu ve  q karesel formu ile donatılmış C cismi üzerindeki V vektör uzayına karesel uzay denir.
Örnek( veya düzgün karesel formun tanımı):  Çokkatsayılı ikinci dereceden polinomlar yani V sonlu boyutlu,
x:=(x1,...,xn)V,λijC için q(x):=1ijnλijxixj  karesel form tanımlar ve bunlara kar(C)2'de özel olarak düzgün karesel form denir.
 
Not: kar(C)=2 olması karesel formun özelliklerini büyük ölçüde değiştirir (Cahit Arf'ın aşağıdaki teoreminde de aynı şey söz konusu olacak.). Bunu kar(C)2'li bir cisim için her simetrik çifte doğrusal göndermenin, kendisini 'üreten' tam tamına bir tane karesel form olabileceği savında görüyoruz (=2 için doğru değil, sonraki cümleyi anlamak için bunları kendiniz kanıtlamaya çalışın). Daha da önemlisi q(x)'yu vektörün uzunluğunun karesi (|x|2 ile gösterelim), 12fq(x,y)'yi de vektörlerin iç çarpımı (xy ile gösterelim) olarak yorumlarsak, kar(C)2 için beklendiği gibi xx=|x|2 olurken,kar(C)=2'de  xx12fq(x,x)=q(2x)q(x)q(x)=2q(x)2|x|2=(1+1)|x|2=0 yani bu (her ne kadar garip gelse de) her vektörün kendine dik olduğunu ifade etmektedir.

Tanım(karesel formların denkliği):
İki karesel forma; eğer biri, diğerinden yozlaşmış/dejenere olmayan C-doğrusal (x=(x1,...,xn)  değişken) dönüşümüyle elde edilebiliyorsa birbirine denk denir.

Tanım(dik doğrudan toplam, ingl. ortogonal direct sum): (V1,f1) ve (V2,f2) iki tane simetrik çifte doğrusal formla donatılmış vektör uzayı olsunlar. İki vektör uzayının V:=V1V2 doğrudan toplamı 2 ile x1,y1V1, x2,y2V2 için f((x1,x2),(y1,y2)):=f1(x1,y1)+f2(x2,y2) olarak tanımlı simetrik çifte doğrusal formunun oluşturduğu ikiliye  (V1,f1) ve (V2,f2)'nin dik doğrudan toplamı denir ve ikilinin uzayı  V1V2 ile gösterilir (veya daha fazla uzay için ni=1Vi:=V1...Vn ).

Not: Dik çünkü xV1,yV2 için f((x,0),(0,y))=f1(x,0)+f2(0,y)=0+0=0 yani V1 ve V2 birbirlerine f'ye göre diktirler.

Sav: kar(C)2'de her karesel formun bir kendine denk 'köşegensel' karesel formu vardır:
q(x)=1inaix2i, aiC.
Ya da karesel uzay bağlamında her karesel uzay V, q(ui)=ai sağlayan bir u1,...,unV dik tabanına sahiptir. Diğer bir deyişle V bir boyutlu karesel altuzayların dik doğrudan toplamıdır:
 kar(C)2 için V=⊥1inCui

Not: Burada Cx, (xV için) Cx:={cx:cC} demek.

Ama kar(C)=2 genel durumu için  en azından iki boyutlu altuzayları da ilave etmemiz gerekiyor:

Sav(Arf[1]):
boy(V)=n ise
kar(C)=2 için V=⊥1ir(Cui+Cvi)+1js(Cwj)
, burada fq(ui,vi)0 (devamda normallemeyle fq(ui,vi)=1 seçtiğimizi varsayıyoruz.) ve n=2r+s. O zaman karakteristik ikide  q karesel formunun şöyle bir denk karesel formu vardır:
q(x)=1ir(aix2i+xiyi+biy2i)+1jscjz2j şayet
x=iir(xiui+yivi)+1jszjwj ve ai)q(ui), bi=q(vi) ve cj)q(wj) ise.

Tanım(karesel form için değişmez): Değişmez, bir karesel forma ilintilenen eğer bir formun yerini başka bir denk form aldığı takdirde değişmeyen matematiksel büyüklüktür. Karesel uzaylar için ise, uzaylar arasındaki izomorfizmalar tarafından değişmeyen büyüklükler kastedilir.

Tanım(Cebir): Bir C cismi üzerindeki A cebiri,  'çarpım' adı verilen C-çifte doğrusal göndermeli :A×AA C-vektör uzayı olarak tanımlanır.

Tanım(Clifford cebiri): Bir (V,q) karesel uzayının Clifford cebiri Cliff(V,q)   aşağıdaki tanımlayıcı ilişkiye sahip olan ve elemanları V'den oluşan birleşmeli C-cebiridir:
x2=q(x),  xV()
ya da (*)'den dolayı xy+yx=fq(x,y)  x,yV

Sav:
Eğer u1,..,un V'nin bir C-tabanıysa, o zaman Cliff(V)'nin C tabanı i1<i2<<ik ve 0kn olacak şekilde ui1ui2uik'dir ve Cliff(V)'nin C-boyutu 2n'ye eşittir.

Sav: Cliff(V) V'nin bir değişmezidir. Eğer Cliff0(V); Cliff(V)'nin  k çift sayılı çarpanlı ui1ui2uik çarpımı ile üretilmiş bir alt cebiri ise, o da V'nin bir değişmezidir (çünkü (**) ikinci dereceden). Cliff0(V)'nin C-boyutu ise 2n1'dir.

Sav: kar(C)=2 ise: V=V1V2Cliff(V)=Cliff(V1)Cliff(V2)

Tanım(ikili/iki boyutlu karesel uzay, ingl. binary quadratic space): Bir ikili uzayı V; iki eleman (u,v) üzerinden tanımlanır:()q(u)=a,q(v)=b,fq(u,v)=1
Clifford cebiri Cliff(V)'nin ise şu bağıntıları vardır:
u2=a,v2=b,uv+vu=1.
Bu 1,u,v,uv C-tabanına sahip dörtlü/dört boyutlu ana basit cebirdir. Çift altcebir Cliff0(V) iki boyutludur ve taban elemanları
(uv)2+uv=uv(vu+1)+uv=u2v2=ab'yi geçerleyen
1 ve uv'dir. w:=uv alıp Artin-Schreier işlemcisi P(X):=X2+X'yi kullanırsak:
Cliff0(V)=C(w)P(w)=ab için
(1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

eline sağlık

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Sav(abP(C)):  abP(C) ise C(w) ayrılabilir karasel cisim uzantısıdır. O zaman bu cisim ab modP(C)'nin kalan sınıfı tarafından biricik olarak belirlenir. C(w)'nin otomorfizması o zaman
u1wu=vu=w+1 tarafından belirlenir.
u2=a olduğundan Cliff(V); C(w) ayrıştırılabilir karesel cisminin bir  devirli çapraz çarpımıdır ve onun çarpan sistemi aC× modülo C(w)×'nın norm grubu aracılığıyla belirlenir.

Buradan ilk karesel form q(x,y)'ya (daha doğrusu ona denk bir forma) N:C(w)C norm göndermesiyle gelebiliriz:
aN(x1+x2w)=a(x1+x2w)(x1+x2(w+1))=ax21+x1(ax2)+b(ax2)2=q(x1,ax2).()
Bu formülü şöyle algılayabiliriz: C(w); norm göndermesi N:C(w)C'ye göre bir karesel uzay olarak görülebilir. aN:C(w)C karesel formuyla ölçeklendirilmiş uzay C(w)(a)'yi inceleyelim (Her karesel uzay (V,q) bir 0aC ölçeklendirilebilir=(V,q) yerine (V,cq) almak). O zaman (****) C(w)(a)'nin V'ye izomorfik bir karesel uzay olduğunu söyler. Bu izoformizma da 1 u'ya ve w'yi a1v'ye atayan izomorfizmadır. Sonuç olarak:
V karesel uzayının resim kümesi  q(V)C(w)'den normların a'yı içeren eşkümesine eşittir, yani q(v)=aN(C(w))
Sav(abP(C)): abP(C) durumunda C(w) bir cisim olmayıp; C'nin iki kopyasının doğrudan çarpımına ayrıştırılabilir, bir değişmeli  C-cebiridir.

cC için ab=P(c) ve e1=w+c ve e2=e1+1 seçerek e1,e2 kareeşlerini bulabiliriz ve C(w)=Ce1Ce2 olur.V'nin tabanı u,v'yi uygun bir şekilde seçerek u2=a0 olması sağlanabilir ve de o yaman u'nun A'da bir tersi var olur ve de u1wu, C(w)'nin -e1, e2'nin permütasyonu olan- otomorfizmasının varlığına işaret eder. Bu yüzden de Cliff(V), -aC elemanı modülo C(w)'nin normlarıyla  belirlenen- C(w)'nin çapraz çarpımıdır. Ama aynı zamanda her aC de C(w)'nin bir normudur ve Cliff(V) ayrılabilir. Böylece (****) hala geçerlidir. Yine de abP(C) ile arasında bir fark vardır: abP(C)'da V karesel uzayı anizotropikken yani sadece x=0 için q(x)=0 (izotropikliğin tanımı da bunun tersi) iken (bunu (****)'de C(w)'nin cisim olmasından ve böylece de z0 için N(z)0'dan çıkarıyoruz),
 abP(C) N(e1)=N(e2)=0'dan dolayı izotropiktir.
 
Tanım(hiperbolik düzlem): abP(C) N(e1)=N(e2)=0 durumunda, karesel form q(x1,x2)=x1x2'ye denktir ve ilgili karesel uzaya -H diyelim- hiperbolik düzlem denir.
 
Tanım(ikincil uzay için Arf değişmezi): ab modülo (P)'nin kalan sınıfı, C(w)=Cliff0(V) tarafından belirlendiğinden ötürü V'nin bir değişmezidir ve ona V ikincil uzayının Arf değişmezi denir:
 Arf(V)abmodP(C)

Teorem:
V=Cu+Cv (***)'yi sağlayan düzgün bir ikincil karesel uzay olsun. O zaman Clifford cebiri Cliff(V) C üzerinde dörtlü cebirdir. Arf(V) ve Cliff(V)  V'yi bir izomorfizmaya kadar belirler. V ancak ve ancak Arf(V)0modP(C) ise izotropiktir ve o halde V hiperbolik düzlem H'ye eşittir.

Tanım(Arf değişmezi): V herhangi, bir karekteristiği iki olan C cismi üzerinde tanımlı düzgün bir karesel uzay olsun. O zaman  -Vi=<ui,vi>, V=⊥1irVi ve 1ir: q(ui)=ai,q(vi)=bi,fq(ui,vi)=1. Ve de Arf değişmezi (yüksek boyutlu uzay için) Arf(V)1irArf(Vi)modP(C)1irq(ui)q(vi)modP(C) olarak tanımlanır.

10TL'nin üzerinde bir özel durum için -C=ZZ2 (kelime oyunu) Arf değişmezinin tanımı (yani denklem değil) yazılmış.

Sav(Arf değişmezi): V; -Vi=<ui,vi>, V=⊥1irVi ve 1ir: q(ui)=ai,q(vi)=bi,fq(ui,vi)=1-  olarak gösterilen  iki boyutlu uzayların  dik toplamlarıyla betimlenen   bir düzgün karesel uzay olsun.Her i için P(wi)=aibi olmak üzere Cliff0(V)=C(wi)  olsun. P(w)=iaibi sağlansın diye w=iwi olsun. O zaman C(w)'nin karesel uzantısı Cliff0(V)'nin merkezine eşittir ve Artin-Schreier teorisine göre iaibi sınıfı, V'nin bir değişmezidir.

Ama ve ama herşeyin esprisi aslında şu:
Teorem (Arf[1]): Karakteristiği 2 olan C cismi, üzerinde tanımlanan her boyutu dörtten fazla olan her düzgün karesel uzayı isotropik 'yapsın'. O zaman C üzerinde tanımlı her düzgün karesel uzayı I)boyutu, II)Clifford cebiri ve III)Arf değişmezi tarafından biricik olarak belirlenebilir.

Not: Teoremin önşartını daha kullanılabilir kılmak için Arf'ın öne sürdüğü başka bir teoremin yanlış olduğu ortaya çıkmış ve doğru hali R. Baeza tarafından 1982'de kanıtlanmıştır (daha fazla bilgi bkz. [2]).

Nota bene: Yukarıda yazdıklarımın çoğunu [2]'den alıntıladım, yazarları olan sayın profesörlere teşekkürlerimi sunarım.

[1]Cahit Arf, I. J. Reine Angew. Math.,(1941), 183:148-167
[2]Falko Lorenz, Peter Roquette, Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg Bd. XXX (2011), 87-126. Bu makale http://sertoz.bilkent.edu.tr/arf.htm sayfasından bulunabilir.

(1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Eline saglik. Ikinci dereceden (ya da kare) formlar hakkinda benim de bir sorum vardi, bu kadar tanimi gorunce soruyu buraya ekleyeyim dedim. soru-link

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,775 kullanıcı