10 tl'deki Cahit Arf'ın denkleminin olayı nedir?

3 beğenilme 0 beğenilmeme
51,409 kez görüntülendi

image

5, Ekim, 2015 Serbest kategorisinde emilezola69 (618 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Yanıt ek önbilgi gerektirmesin diye (neredeyse) tüm ilgili kavramları yazmaya çalışacacağım. Haliyle uzun olabilir.
(Dedim ama çok eksik var, toparlayan olursa çok memnun olurum)

$C$ hep bir cisim, $V$ de hep bir vektör uzayı olsun.

Tanım(karakteristik):$C$ cisminin birim elemanını $1$ ile gösterelim. $n\in \mathbb{N}$ için $\sum_{i=1}^n 1$'yi sıfıra eşit yapan en küçük $n$ sayısına $C$'nin karakteristiği denir ve $kar(C)=n$ olarak gösterilir. Şayet her $n\in\mathbb{N}$ için $\sum_{i=1}^n 1\neq 0$ geçerliğiyse, $C$'nin karakteristiği $0$ olarak tanımlanır.

Tanım(çifte doğrusal form, ingl. bilinear form): $f:V\times V\rightarrow C$ göndermesine, eğer her $x,y,z\in V$ ve her $\lambda\in C$ aşağıdaki şartları sağlarsa çifte doğrusal form denir:
\begin{equation}
f(\lambda y+z,x)=\lambda f(y,x)+f(z,x)
\\
f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)
\end{equation}
Ayrıca $\forall x,y\in V: f(x,y)=f(y,x)$ ise $f$'ye simetrik çifte doğrusal form denir.

Tanım(karesel form, ingl. quadratic form):  $q:V\rightarrow C$ göndermesine, eğer aşağıdaki şartları sağlarsa karesel form denir:
\begin{equation}
q(\lambda x)=\lambda^2 q(x), \text{           } \forall x \in V \text{ ve } \forall \lambda\in C
\end{equation}
\begin{equation}
f_q:V\times V\rightarrow C, f_q(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y) \text{ bir çifte doğrusal form tanımlar. (*)}
\end{equation}
Ayrıca yukarıdaki bağıntıyı geçerleyen $f_q$ çifte doğrusal formu ve  $q$ karesel formu ile donatılmış C cismi üzerindeki $V$ vektör uzayına karesel uzay denir.
Örnek( veya düzgün karesel formun tanımı):  Çokkatsayılı ikinci dereceden polinomlar yani $V$ sonlu boyutlu,
$x:=(x_1,...,x_n)\in V, \lambda_{ij}\in C$ için $q(x):=\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n}\lambda_{ij}x_i x_j$  karesel form tanımlar ve bunlara $kar(C)\neq 2$'de özel olarak düzgün karesel form denir.
 
Not: $kar(C)=2$ olması karesel formun özelliklerini büyük ölçüde değiştirir (Cahit Arf'ın aşağıdaki teoreminde de aynı şey söz konusu olacak.). Bunu $kar(C)\neq 2$'li bir cisim için her simetrik çifte doğrusal göndermenin, kendisini 'üreten' tam tamına bir tane karesel form olabileceği savında görüyoruz ($=2$ için doğru değil, sonraki cümleyi anlamak için bunları kendiniz kanıtlamaya çalışın). Daha da önemlisi $q(x)$'yu vektörün uzunluğunun karesi ($\vert x\vert ^2$ ile gösterelim), $\frac{1}{2}f_q(x,y)$'yi de vektörlerin iç çarpımı ($x\cdot y$ ile gösterelim) olarak yorumlarsak, $kar(C)\neq 2$ için beklendiği gibi $x\cdot x=\vert x\vert^2$ olurken,$kar(C)=2$'de  $x\cdot x\equiv \frac{1}{2}f_q(x,x)=q(2x)-q(x)-q(x)=2q(x)\equiv 2 \vert  x\vert^2 =(1+1)\vert  x\vert^2=0$ yani bu (her ne kadar garip gelse de) her vektörün kendine dik olduğunu ifade etmektedir.

Tanım(karesel formların denkliği):
İki karesel forma; eğer biri, diğerinden yozlaşmış/dejenere olmayan $C$-doğrusal ($x=(x_1,...,x_n)$  değişken) dönüşümüyle elde edilebiliyorsa birbirine denk denir.

Tanım(dik doğrudan toplam, ingl. ortogonal direct sum): $(V_1,f_1)$ ve $(V_2,f_2)$ iki tane simetrik çifte doğrusal formla donatılmış vektör uzayı olsunlar. İki vektör uzayının $V:=V_1\oplus V_2$ doğrudan toplamı 2 ile $x_1,y_1\in V_1$, $x_2,y_2\in V_2$ için $f((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=f_1(x_1,y_1)+f_2(x_2,y_2)$ olarak tanımlı simetrik çifte doğrusal formunun oluşturduğu ikiliye  $(V_1,f_1)$ ve $(V_2,f_2)$'nin dik doğrudan toplamı denir ve ikilinin uzayı  $V_1\perp V_2$ ile gösterilir (veya daha fazla uzay için $\perp\displaystyle \sum_{i=1}^n V_i:=V_1\perp ... \perp V_n$ ).

Not: Dik çünkü $x\in V_1,y\in V_2$ için $f((x,0),(0,y))=f_1(x,0)+f_2(0,y)=0+0=0$ yani $V_1$ ve $V_2$ birbirlerine $f$'ye göre diktirler.

Sav: $kar(C)\neq 2$'de her karesel formun bir kendine denk 'köşegensel' karesel formu vardır:
$q(x)=\sum_{1\leq i\leq n} a_i x_i^2$, $a_i\in C$.
Ya da karesel uzay bağlamında her karesel uzay $V$, $q(u_i)=a_i$ sağlayan bir $u_1,...,u_n\in V$ dik tabanına sahiptir. Diğer bir deyişle $V$ bir boyutlu karesel altuzayların dik doğrudan toplamıdır:
 \begin{equation}kar(C)\neq 2 \text{ için } V=\perp\displaystyle\sum_{1\leq i\leq n}C u_i\end{equation}

Not: Burada $Cx$, ($x\in V$ için) $Cx:=\{cx:c\in C\}$ demek.

Ama $kar(C)=2$ genel durumu için  en azından iki boyutlu altuzayları da ilave etmemiz gerekiyor:

Sav(Arf[1]):
$boy(V)=n$ ise
\begin{equation}
kar(C)= 2 \text{ için }V=\perp\displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}(C u_i+C v_i)+\perp\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}(C w_j)
\end{equation}
, burada $f_q(u_i,v_i)\neq 0$ (devamda normallemeyle $f_q(u_i,v_i)=1$ seçtiğimizi varsayıyoruz.) ve $n=2r+s$. O zaman karakteristik ikide  $q$ karesel formunun şöyle bir denk karesel formu vardır:
\begin{equation}q(x)=\displaystyle\sum_{1\leq i\leq} r(a_i x_i^2+x_i y_i+b_i y_i^2)+\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}c_j z_j^2
\end{equation} şayet
\begin{equation}
x=\displaystyle\sum_{i\leq i\leq r}(x_i u_i+y_i v_i)+\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}z_j w_j
\end{equation} ve $a_i)q(u_i)$, $b_i=q(v_i)$ ve $c_j)q(w_j)$ ise.

Tanım(karesel form için değişmez): Değişmez, bir karesel forma ilintilenen eğer bir formun yerini başka bir denk form aldığı takdirde değişmeyen matematiksel büyüklüktür. Karesel uzaylar için ise, uzaylar arasındaki izomorfizmalar tarafından değişmeyen büyüklükler kastedilir.

Tanım(Cebir): Bir $C$ cismi üzerindeki $A$ cebiri,  'çarpım' adı verilen $C$-çifte doğrusal göndermeli $\cdot:A\times A\rightarrow A$ $C$-vektör uzayı olarak tanımlanır.

Tanım(Clifford cebiri): Bir $(V,q)$ karesel uzayının Clifford cebiri $Cliff(V,q)$   aşağıdaki tanımlayıcı ilişkiye sahip olan ve elemanları $V$'den oluşan birleşmeli $C$-cebiridir:
\begin{equation}x^2=q(x), \ \ \forall x\in V (**)\end{equation}
ya da (*)'den dolayı \begin{equation}xy+yx=f_q(x,y)\ \ \forall x,y\in V\end{equation}

Sav:
Eğer $u_1,..,u_n$ $V$'nin bir $C$-tabanıysa, o zaman $Cliff(V)$'nin $C$ tabanı $i_1<i_2<\cdots<i_k$ ve $0\leq k\leq n$ olacak şekilde $u_{i_1}u_{i_2}\cdots u_{i_k}$'dir ve $Cliff(V)$'nin $C$-boyutu $2^n$'ye eşittir.

Sav: $\text{Cliff}(V)$ $V$'nin bir değişmezidir. Eğer $\text{Cliff}_0(V)$; $\text{Cliff}(V)$'nin  $k$ çift sayılı çarpanlı $u_{i_1}u_{i_2}\cdots u_{i_k}$ çarpımı ile üretilmiş bir alt cebiri ise, o da $V$'nin bir değişmezidir (çünkü (**) ikinci dereceden). $\text{Cliff}_0(V)$'nin $C$-boyutu ise $2^{n-1}$'dir.

Sav: \begin{equation}
kar(C)= 2 \text{ ise: } V=V_1\perp V_2\rightarrow \text{Cliff}(V)=\text{Cliff}(V_1)\otimes \text{Cliff}(V_2)\end{equation}

Tanım(ikili/iki boyutlu karesel uzay, ingl. binary quadratic space): Bir ikili uzayı $V$; iki eleman ($u,v$) üzerinden tanımlanır:\begin{equation}(***)
q(u)=a, q(v)=b, f_q(u,v)=1
\end{equation}
Clifford cebiri $\text{Cliff}(V)$'nin ise şu bağıntıları vardır:
\begin{equation}
u^{2}=a, v^{2}=b, uv+vu=1
\end{equation}.
Bu $1,u,v,uv$ $C$-tabanına sahip dörtlü/dört boyutlu ana basit cebirdir. Çift altcebir $\text{Cliff}_0(V)$ iki boyutludur ve taban elemanları
$(uv)^2+uv=uv(vu+1)+uv=u^2v^2=ab$'yi geçerleyen
$1$ ve $uv$'dir. $w:=uv$ alıp Artin-Schreier işlemcisi $\mathcal{P}(X):=X^2+X$'yi kullanırsak:
\begin{equation}
\text{Cliff}_0(V)=C(w) \text{, }\mathcal{P}(w)=ab \text{ için}
\end{equation}
31, Ocak, 2016 fiziksever (1,165 puan) tarafından  cevaplandı
31, Ocak, 2016 fiziksever tarafından düzenlendi

eline sağlık

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Sav($ab\notin \mathcal{P}(C)$):  $ab\notin \mathcal{P}(C)$ ise $C(w)$ ayrılabilir karasel cisim uzantısıdır. O zaman bu cisim $ab\ mod\mathcal{P}(C)$'nin kalan sınıfı tarafından biricik olarak belirlenir. $C(w)$'nin otomorfizması o zaman
\begin{equation}
u^{-1}wu=vu=w+1
\end{equation} tarafından belirlenir.
$u^{2}=a$ olduğundan $\text{Cliff}(V)$; $C(w)$ ayrıştırılabilir karesel cisminin bir  devirli çapraz çarpımıdır ve onun çarpan sistemi $a\in C^{\times}$ modülo $C(w)^{\times}$'nın norm grubu aracılığıyla belirlenir.

Buradan ilk karesel form $q(x,y)$'ya (daha doğrusu ona denk bir forma) $N:C(w)\rightarrow C$ norm göndermesiyle gelebiliriz:
\begin{equation}
a\cdot N(x_1+x_2 w)=a\cdot (x_1+x_2 w)(x_1+x_2(w+1))\\ =ax_1^2+x_1(ax_2)+b(ax_2)^2=q(x_1,ax_2).(****)
\end{equation}
Bu formülü şöyle algılayabiliriz: $C(w)$; norm göndermesi $N:C(w)\rightarrow C$'ye göre bir karesel uzay olarak görülebilir. $aN:C(w)\rightarrow C$ karesel formuyla ölçeklendirilmiş uzay $C(w)^{(a)}$'yi inceleyelim (Her karesel uzay $(V,q)$ bir $0\neq a\in C$ ölçeklendirilebilir=$(V,q)$ yerine $(V,cq)$ almak). O zaman (****) $C(w)^{(a)}$'nin $V$'ye izomorfik bir karesel uzay olduğunu söyler. Bu izoformizma da $1$ $u$'ya ve $w$'yi $a^{-1}v$'ye atayan izomorfizmadır. Sonuç olarak:
$V$ karesel uzayının resim kümesi  $q(V)$,  $C(w)$'den normların $a$'yı içeren eşkümesine eşittir, yani \begin{equation}
q(v)=a\cdot N(C(w))
\end{equation}
Sav($ab\in \mathcal{P}(C)$): $ab\in \mathcal{P}(C)$ durumunda $C(w)$ bir cisim olmayıp; $C$'nin iki kopyasının doğrudan çarpımına ayrıştırılabilir, bir değişmeli  $C$-cebiridir.

$c\in C$ için $ab=\mathcal{P}(c)$ ve $e_1=w+c$ ve $e_2=e_1+1$ seçerek $e_1,e_2$ kareeşlerini bulabiliriz ve $C(w)=C e_1\oplus C e_2$ olur.$V$'nin tabanı $u,v$'yi uygun bir şekilde seçerek $u^2=a\neq 0$ olması sağlanabilir ve de o yaman $u$'nun $A$'da bir tersi var olur ve de $u^{-1}wu$, $C(w)$'nin -$e_1$, $e_2$'nin permütasyonu olan- otomorfizmasının varlığına işaret eder. Bu yüzden de $\text{Cliff}(V)$, -$a\in C$ elemanı modülo $C(w)$'nin normlarıyla  belirlenen- $C(w)$'nin çapraz çarpımıdır. Ama aynı zamanda her $a\in C$ de $C(w)$'nin bir normudur ve $\text{Cliff}(V)$ ayrılabilir. Böylece (****) hala geçerlidir. Yine de $ab\notin \mathcal{P}(C)$ ile arasında bir fark vardır: $ab\notin \mathcal{P}(C)$'da $V$ karesel uzayı anizotropikken yani sadece $x=0$ için $q(x)=0$ (izotropikliğin tanımı da bunun tersi) iken (bunu (****)'de $C(w)$'nin cisim olmasından ve böylece de $z\neq 0$ için $N(z)\neq 0$'dan çıkarıyoruz),
 $ab\in \mathcal{P}(C)$ $N(e_1)=N(e_2)=0$'dan dolayı izotropiktir.
 
Tanım(hiperbolik düzlem): $ab\in \mathcal{P}(C)$ $N(e_1)=N(e_2)=0$ durumunda, karesel form $q(x_1,x_2)=x_1x_2$'ye denktir ve ilgili karesel uzaya -$H$ diyelim- hiperbolik düzlem denir.
 
Tanım(ikincil uzay için Arf değişmezi): $ab$ modülo $\mathcal(P)$'nin kalan sınıfı, $C(w)=\text{Cliff}_0(V)$ tarafından belirlendiğinden ötürü $V$'nin bir değişmezidir ve ona $V$ ikincil uzayının Arf değişmezi denir:
 \begin{equation}
\text{Arf}(V)\equiv ab mod \mathcal{P}(C)
\end{equation}

Teorem:
$V=Cu+Cv$ (***)'yi sağlayan düzgün bir ikincil karesel uzay olsun. O zaman Clifford cebiri $\text{Cliff}(V)$ $C$ üzerinde dörtlü cebirdir. $\text{Arf}(V)$ ve $\text{Cliff}(V)$  $V$'yi bir izomorfizmaya kadar belirler. $V$ ancak ve ancak $\text{Arf}(V)\equiv 0mod \mathcal{P}(C)$ ise izotropiktir ve o halde V hiperbolik düzlem $H$'ye eşittir.

Tanım(Arf değişmezi): $V$ herhangi, bir karekteristiği iki olan $C$ cismi üzerinde tanımlı düzgün bir karesel uzay olsun. O zaman  -$V_i=<u_i,v_i>$, $V=\perp\displaystyle_{1\leq i\leq r}V_i$ ve $1\leq i\leq r:$ $q(u_i)=a_i,q(v_i)=b_i, f_q(u_i,v_i)=1$. Ve de Arf değişmezi (yüksek boyutlu uzay için) $\text{Arf}(V)\equiv \displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}\text{Arf}(V_i) \text{mod}\mathcal{P}(C)\equiv \displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}q(u_i)q(v_i) \text{mod}\mathcal{P}(C)$ olarak tanımlanır.

10TL'nin üzerinde bir özel durum için -$C=\mathbb{Z}\setminus \mathbb{Z}_2$ (kelime oyunu) Arf değişmezinin tanımı (yani denklem değil) yazılmış.

Sav(Arf değişmezi): $V$; -$V_i=<u_i,v_i>$, $V=\perp\displaystyle_{1\leq i\leq r}V_i$ ve $1\leq i\leq r:$ $q(u_i)=a_i,q(v_i)=b_i, f_q(u_i,v_i)=1$-  olarak gösterilen  iki boyutlu uzayların  dik toplamlarıyla betimlenen   bir düzgün karesel uzay olsun.Her $i$ için $\mathcal{P}(w_i)=a_i b_i$ olmak üzere $\text{Cliff}_0(V)=C(w_i)$  olsun. $\mathcal{P}(w)=\displaystyle\sum_i a_i b_i$ sağlansın diye $w=\sum_i w_i$ olsun. O zaman $C(w)$'nin karesel uzantısı $\text{Cliff}_0(V)$'nin merkezine eşittir ve Artin-Schreier teorisine göre $\sum_i a_i b_i$ sınıfı, $V$'nin bir değişmezidir.

Ama ve ama herşeyin esprisi aslında şu:
Teorem (Arf[1]): Karakteristiği 2 olan $C$ cismi, üzerinde tanımlanan her boyutu dörtten fazla olan her düzgün karesel uzayı isotropik 'yapsın'. O zaman $C$ üzerinde tanımlı her düzgün karesel uzayı I)boyutu, II)Clifford cebiri ve III)Arf değişmezi tarafından biricik olarak belirlenebilir.

Not: Teoremin önşartını daha kullanılabilir kılmak için Arf'ın öne sürdüğü başka bir teoremin yanlış olduğu ortaya çıkmış ve doğru hali R. Baeza tarafından 1982'de kanıtlanmıştır (daha fazla bilgi bkz. [2]).

Nota bene: Yukarıda yazdıklarımın çoğunu [2]'den alıntıladım, yazarları olan sayın profesörlere teşekkürlerimi sunarım.

[1]Cahit Arf, I. J. Reine Angew. Math.,(1941), 183:148-167
[2]Falko Lorenz, Peter Roquette, Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg Bd. XXX (2011), 87-126. Bu makale http://sertoz.bilkent.edu.tr/arf.htm sayfasından bulunabilir.

31, Ocak, 2016 fiziksever (1,165 puan) tarafından  cevaplandı
31, Ocak, 2016 fiziksever tarafından düzenlendi

Eline saglik. Ikinci dereceden (ya da kare) formlar hakkinda benim de bir sorum vardi, bu kadar tanimi gorunce soruyu buraya ekleyeyim dedim. soru-link

...