Yanıt ek önbilgi gerektirmesin diye (neredeyse) tüm ilgili kavramları yazmaya çalışacacağım. Haliyle uzun olabilir.
(Dedim ama çok eksik var, toparlayan olursa çok memnun olurum)
C hep bir cisim, V de hep bir vektör uzayı olsun.
Tanım(karakteristik):C cisminin birim elemanını 1 ile gösterelim. n∈N için ∑ni=11'yi sıfıra eşit yapan en küçük n sayısına C'nin karakteristiği denir ve kar(C)=n olarak gösterilir. Şayet her n∈N için ∑ni=11≠0 geçerliğiyse, C'nin karakteristiği 0 olarak tanımlanır.
Tanım(çifte doğrusal form, ingl. bilinear form): f:V×V→C göndermesine, eğer her x,y,z∈V ve her λ∈C aşağıdaki şartları sağlarsa çifte doğrusal form denir:
f(λy+z,x)=λf(y,x)+f(z,x)f(x,λy+z)=λf(x,y)+f(x,z)
Ayrıca ∀x,y∈V:f(x,y)=f(y,x) ise f'ye simetrik çifte doğrusal form denir.
Tanım(karesel form, ingl. quadratic form): q:V→C göndermesine, eğer aşağıdaki şartları sağlarsa karesel form denir:
q(λx)=λ2q(x), ∀x∈V ve ∀λ∈C
fq:V×V→C,fq(x,y)=q(x+y)−q(x)−q(y) bir çifte doğrusal form tanımlar. (*)
Ayrıca yukarıdaki bağıntıyı geçerleyen fq çifte doğrusal formu ve q karesel formu ile donatılmış C cismi üzerindeki V vektör uzayına karesel uzay denir.
Örnek( veya düzgün karesel formun tanımı): Çokkatsayılı ikinci dereceden polinomlar yani V sonlu boyutlu,
x:=(x1,...,xn)∈V,λij∈C için q(x):=∑1≤i≤j≤nλijxixj karesel form tanımlar ve bunlara kar(C)≠2'de özel olarak düzgün karesel form denir.
Not: kar(C)=2 olması karesel formun özelliklerini büyük ölçüde değiştirir (Cahit Arf'ın aşağıdaki teoreminde de aynı şey söz konusu olacak.). Bunu kar(C)≠2'li bir cisim için her simetrik çifte doğrusal göndermenin, kendisini 'üreten' tam tamına bir tane karesel form olabileceği savında görüyoruz (=2 için doğru değil, sonraki cümleyi anlamak için bunları kendiniz kanıtlamaya çalışın). Daha da önemlisi q(x)'yu vektörün uzunluğunun karesi (|x|2 ile gösterelim), 12fq(x,y)'yi de vektörlerin iç çarpımı (x⋅y ile gösterelim) olarak yorumlarsak, kar(C)≠2 için beklendiği gibi x⋅x=|x|2 olurken,kar(C)=2'de x⋅x≡12fq(x,x)=q(2x)−q(x)−q(x)=2q(x)≡2|x|2=(1+1)|x|2=0 yani bu (her ne kadar garip gelse de) her vektörün kendine dik olduğunu ifade etmektedir.
Tanım(karesel formların denkliği): İki karesel forma; eğer biri, diğerinden yozlaşmış/dejenere olmayan C-doğrusal (x=(x1,...,xn) değişken) dönüşümüyle elde edilebiliyorsa birbirine denk denir.
Tanım(dik doğrudan toplam, ingl. ortogonal direct sum): (V1,f1) ve (V2,f2) iki tane simetrik çifte doğrusal formla donatılmış vektör uzayı olsunlar. İki vektör uzayının V:=V1⊕V2 doğrudan toplamı 2 ile x1,y1∈V1, x2,y2∈V2 için f((x1,x2),(y1,y2)):=f1(x1,y1)+f2(x2,y2) olarak tanımlı simetrik çifte doğrusal formunun oluşturduğu ikiliye (V1,f1) ve (V2,f2)'nin dik doğrudan toplamı denir ve ikilinin uzayı V1⊥V2 ile gösterilir (veya daha fazla uzay için ⊥n∑i=1Vi:=V1⊥...⊥Vn ).
Not: Dik çünkü x∈V1,y∈V2 için f((x,0),(0,y))=f1(x,0)+f2(0,y)=0+0=0 yani V1 ve V2 birbirlerine f'ye göre diktirler.
Sav: kar(C)≠2'de her karesel formun bir kendine denk 'köşegensel' karesel formu vardır:
q(x)=∑1≤i≤naix2i, ai∈C.
Ya da karesel uzay bağlamında her karesel uzay V, q(ui)=ai sağlayan bir u1,...,un∈V dik tabanına sahiptir. Diğer bir deyişle V bir boyutlu karesel altuzayların dik doğrudan toplamıdır:
kar(C)≠2 için V=⊥∑1≤i≤nCui
Not: Burada Cx, (x∈V için) Cx:={cx:c∈C} demek.
Ama kar(C)=2 genel durumu için en azından iki boyutlu altuzayları da ilave etmemiz gerekiyor:
Sav(Arf[1]): boy(V)=n ise
kar(C)=2 için V=⊥∑1≤i≤r(Cui+Cvi)+⊥∑1≤j≤s(Cwj)
, burada fq(ui,vi)≠0 (devamda normallemeyle fq(ui,vi)=1 seçtiğimizi varsayıyoruz.) ve n=2r+s. O zaman karakteristik ikide q karesel formunun şöyle bir denk karesel formu vardır:
q(x)=∑1≤i≤r(aix2i+xiyi+biy2i)+∑1≤j≤scjz2j şayet
x=∑i≤i≤r(xiui+yivi)+∑1≤j≤szjwj ve ai)q(ui), bi=q(vi) ve cj)q(wj) ise.
Tanım(karesel form için değişmez): Değişmez, bir karesel forma ilintilenen eğer bir formun yerini başka bir denk form aldığı takdirde değişmeyen matematiksel büyüklüktür. Karesel uzaylar için ise, uzaylar arasındaki izomorfizmalar tarafından değişmeyen büyüklükler kastedilir.
Tanım(Cebir): Bir C cismi üzerindeki A cebiri, 'çarpım' adı verilen C-çifte doğrusal göndermeli ⋅:A×A→A C-vektör uzayı olarak tanımlanır.
Tanım(Clifford cebiri): Bir (V,q) karesel uzayının Clifford cebiri Cliff(V,q) aşağıdaki tanımlayıcı ilişkiye sahip olan ve elemanları V'den oluşan birleşmeli C-cebiridir:
x2=q(x), ∀x∈V(∗∗)
ya da (*)'den dolayı xy+yx=fq(x,y) ∀x,y∈V
Sav: Eğer u1,..,un V'nin bir C-tabanıysa, o zaman Cliff(V)'nin C tabanı i1<i2<⋯<ik ve 0≤k≤n olacak şekilde ui1ui2⋯uik'dir ve Cliff(V)'nin C-boyutu 2n'ye eşittir.
Sav: Cliff(V) V'nin bir değişmezidir. Eğer Cliff0(V); Cliff(V)'nin k çift sayılı çarpanlı ui1ui2⋯uik çarpımı ile üretilmiş bir alt cebiri ise, o da V'nin bir değişmezidir (çünkü (**) ikinci dereceden). Cliff0(V)'nin C-boyutu ise 2n−1'dir.
Sav: kar(C)=2 ise: V=V1⊥V2→Cliff(V)=Cliff(V1)⊗Cliff(V2)
Tanım(ikili/iki boyutlu karesel uzay, ingl. binary quadratic space): Bir ikili uzayı V; iki eleman (u,v) üzerinden tanımlanır:(∗∗∗)q(u)=a,q(v)=b,fq(u,v)=1
Clifford cebiri Cliff(V)'nin ise şu bağıntıları vardır:
u2=a,v2=b,uv+vu=1.
Bu 1,u,v,uv C-tabanına sahip dörtlü/dört boyutlu ana basit cebirdir. Çift altcebir Cliff0(V) iki boyutludur ve taban elemanları
(uv)2+uv=uv(vu+1)+uv=u2v2=ab'yi geçerleyen
1 ve uv'dir. w:=uv alıp Artin-Schreier işlemcisi P(X):=X2+X'yi kullanırsak:
Cliff0(V)=C(w), P(w)=ab için