Aralarında asal olmasa ne olur?

Question

Soru: a ve b tamsayı olmak üzere, $28^{a+b-7}= 13^{a-4}$ olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

Çözüm: a,b tamsayı ve 28 ile 13 aralarında asal sayılar olduğundan, 
a+b-7=0 ve a-4=0 dır. Gerisi önemli değil. 
Aralarında asal olmasalar da pozitif bir sayının üssü 0 ise sonuç daima 1'dir. 28 ile 14 olsa ne olurdu?

Answer 1

"Cozum" sunu soyluyor:

"Eger $m$ ve $n$ aralarinda asal ise ve eger $x$ ve $y$ tamsayilar ise ve eger $m^x = n^y$ ise, o zaman $x = y = 0$ olmalidir."

Sen sunu soyluyorsun:

"Eger $x = y= 0$ ise, o zaman zaten her sayi icin $m^x = 1$ ve $n^y = 1$ olacagi icin $m^x = n^y$ esitligi saglanir. Niye aralarinda asal olmasina ihtiyacimiz var ki?"

Soyledigin sey dogru tabii ki. Ama soyledigin seyle sordugun sorunun alakasi yok. 

$m$ ve $n$ dogal sayilar olmak uzere, su cumle dogru:

"Eger $x = y= 0$ ise, o zaman $m^x = n^y$'dir."

Ama su cumle yanlis:

"Eger $m^x = n^y$ ise, o zaman $x= y= 0$'dir."

Bu cumlenin neden yanlis oldugunu da bir karsi-ornekle Sercan soylemis zaten. $m = 2$ ve $n = 4$ olsun. O zaman, $2^2 = 4^1$. Burada $x = 2, y=1$. Yani, $x = y= 0$ olmasina gerek yokmus.

Comments

Evet, gayet iyi anlattınız; her şey şimdi oturdu. Çok teşekkür ederim size de. 

Answer 2

Fakat baska cozunlerde olabilir. $a=2b$ icin $2^a=4^b$ saglani. Fakat $2^a=9^b$ esitligi sadece $a=b=0$ icin saglanir.