$\left| z^{i} \right| \lt e^{ \pi } $ olduğunu ispatlayın, tüm komplesk $z \not = 0$ için

1 beğenilme 0 beğenilmeme
158 kez görüntülendi


2, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde emilezola69 (618 puan) tarafından  soruldu

$r \in \mathbb R$ icin $z=r^{-i}$ olsun. Bu durumda $z^i=r$ olur. Yani $f(z)=|z^i|$ fonksiyonu $\mathbb C^\times$'den $\mathbb R^+$ye orten bir fonksiyon.

göremedim çözümü

Ben olmadigini iddia ettim.

ama bazı koşullarda olur heralde

Evet olur da istenen ispat sifir olmayan her eleman ici degil mi?

doğru haklısın

Kompleks logaritma çok değerli olduğu için $z^i$ çok değerlidir. Soruda, özel bir $z^i$ değeri (esas değer) gözönüne alındığında, iddia doğru oluyor.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$z=cos\theta +isin\theta=e^{i\theta}$ ve $|z|=|e^{i\theta}|$ olduğu için,

$z=cos\pi +isin\pi=e^{i\pi}$,    $ z^i=(cos\pi +isin\pi)^i=e^{-\pi}$ve $|z^i|=|e^{-\pi}|=|\frac{1}{e^\pi}|< e^\pi$ olur.



2, Ekim, 2015 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı
4, Ekim, 2015 Mehmet Toktaş tarafından düzenlendi

Hepsi için göstermek gerekir. Fakat burda bir tanesi için gösterilmiş?

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruda, yorumda da belirttiğim gibi, eksik bir varsayım var. $z^i$  nin sonsuz tane değeri vardır, bunlardan  bazıları, (biri esas değer olmak üzere) için  eşitsizlik  geçerli. Tüm değerler için geçerli değil.

$z^i=e^{i\log z}=e^{i(\ln|z|+i\arg z)}$ olarak tanımlanır ve $\arg z$ çok (sonsuz) değerlidir. 

$\arg z=\theta+2n\pi\ (n\in\mathbb{Z})$ Bunlardan $(-\pi,\pi]$ aralığında olana esas argüment denir ve $\textrm{Arg}\, z$ ile gösterilir. $\textrm{Log}\, z=\ln|z|+i\textrm{Arg}\, z$ ye de logaritmanın esas değeri denir. İddia, $z^i$ nin hesaplanmasında bu logaritma kullanılırsa doğru (aşağıda).(Bu değere de $z^i$ nin esas değeri denir) $z^i$ nin esas değeri için: ($z=e^{i\Theta},\ -\pi<\Theta\leq\pi$)

$$|z^i|=|e^{i\textrm{Log}\,z}|=|e^{i(\ln|z|+i\Theta)}=|e^{-\Theta+i\ln|z|}|=e^{-\Theta}<e^\pi$$

Tüm değerler bakıldığında

$$|z^i|=|e^{i\log z}|=|e^{i(\ln|z|+i(\Theta+2n\pi))}|=|e^{-\Theta-2n\pi+i\ln|z|}|=e^{-\Theta-2n\pi}$$olup sonsuz çoklukta $n$ için eşitsizlik yanlış olur.

3, Ekim, 2015 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
3, Ekim, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi
teşekkürler. neden $|e^{iln|z|}|=1$ ? göremeidm.

$\ln|z|$ reel (gerçel) olduğu için.

...