Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
541 kez görüntülendi

$n$ pozitif bir tamsayı ve $P(x)$ $n$'inci dereceden bir polinom olsun.

$P(1)=\frac{1}{1}$, $P(2)=\frac{1}{2}$, $P(3)=\frac{1}{3}$, $\cdots$ $P(n+1)=\frac{1}{n+1}$ ise

$P(n+2)$'yi bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (4.6k puan) tarafından  | 541 kez görüntülendi

cevap $1/(n+2)$ değil sanırım?

Eğer  $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\dots(x-(n+1))+\frac{1}{x}$ olarak alırsak verilen eşitlikler sağlanıyor fakat bu sefer de P(x) polinom olmuyor.

Lagrange polinomu.

Siz soruyu çözdünüz mü?

Dün cevabı yazıyordum ama dizi izledim. Sonra uyudum. Eksik kalmıştı. Klasik bir Lagrange polinomu sorusu.

Akşam eve gidince çözümünü paylaşırım.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soru: $P(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac1i\prod\limits_{j=1(j \ne i)}^{n+1}\frac{x-j}{i-j}$ ise $P(n+2)$ kactir?

(25.3k puan) tarafından 

Cevap $p(n+2)=\frac{(-1)^n+1}{n+2}$'dir.


$n$ tek $\Rightarrow p(n+2)=0$

$n$ çift $\Rightarrow p(n+2)=\frac{2}{n+2}$

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Polinomun yukarıdaki tanımından

$p(k)=\frac{1}{k}, k \in Z, 1 \leq k \leq n+1 \\ kp(k)=1 \\ kp(k)-1=0$

$xp(x)-1$ polinonumun kökleri $1,2,3, \cdots n+1$'dir.

$p(x)$'in derecesi $n$ olduğuna göre

$xp(x)-1$ polinomunun derecesi $n+1$'dir.

$xp(x)-1$ polinomunun en fazla $n+1$ kökü vardır.


$xp(x)-1=k(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1) \\ x=0 \Rightarrow -1=k(-1)(-2)\cdots(-n-1) \Rightarrow -1=k\prod_{i=1}^{n+1} i \left ( -1 \right )^{n+1} \\ k=\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i} \\ \rightarrow xp(x)-1=\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1) \\ p(x)=\frac{1}{x}\left ( \frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1)+1 \right ) \\ p(n+2)=\frac{1}{n+2}\left ( \frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(\prod_{j=1}^{n+1}(n+2-j))+1 \right )=\frac{(-1)^n+1}{n+2}$

$n$ tek $\Rightarrow 0$

$n$ çift $\Rightarrow \frac{2}{n+2}$

(4.6k puan) tarafından 

Çok güzel bir çözüm. Teşekkürler. Sorunun kaynağı neresiydi acaba?

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,984 kullanıcı