Compleks sayılar ve 1'in kökleri

1 beğenilme 0 beğenilmeme
59 kez görüntülendi

$z$ compleks bir sayısı olsun, $|z|=1$ olmak üzere. Hiç bir $n$ dogal sayısı için $z^n=1$ olmayacak bir $z$ vardır.

27, Şubat, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Bir $n \in \mathbb{N}$ için $z^n-1$ polinomunun kökü olabilecek sayılabilir tane karmaşık sayı vardır ancak $|z|=1$ eşitliğini sağlayan sayılamaz tane karmaşık sayı vardır. Demek ki $|z|=1$ olduğu halde $1$'in kökü olmayan karmaşık sayılar bulunmak zorunda.

Açık açık böyle bir sayı bulmak da zor değil. $z=e^i=cos(1)+i \cdot sin(1)$ olsun. Eğer $z^n=1$ olsaydı bir $k$ tam sayısı için $n=2\pi k$ olurdu ve bu da $\pi$'nin irrasyonelliği ile çelişirdi.
27, Şubat, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
28, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
...