Supremumun görüntüsü ile görüntülerin supremumu

2 beğenilme 0 beğenilmeme
100 kez görüntülendi

Diyelim ki $A$, $\mathbb{R}$'nin sınırlı ve boştan farklı bir alt kümesi ve $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ herhangi bir fonksiyon olsun. Basit bir örnekle gösterilebilir ki, $$f(\text{sup}A)=\text{sup}f(A)$$ eşitliği her zaman sağlanmak zorunda değil. Peki bu eşitliğin sağlanması için $f$ fonksiyonu üzerine hangi koşul(lar) konmalıdır?

22, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f$ surekli ve artan bi fonksiyonsa saglanir. 

ispat: ($[0,1)$ araligi icin)  $\sup A=1$ ve O zaman sol taraf $f(1)$ yapar. Fonksiyon surekli ve artan oldugundan tum $x \in A$ icin $f(1)>f(x)$  eger baska bir $f(a)$ degeri de bu kosulu sagliyorsa $a>1$ olmali ve $f$ artan bir fonksiyon oldugundan $f(a)>f(1)$ olur. Yani $\sup f(A)=f(1)$ olur.

22, Eylül, 2015 Sercan (23,972 puan) tarafından  cevaplandı
22, Eylül, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Matematik ispat ister :)

minik bir ispat ekledim.

(Her noktada) Sadece soldan sürekli olmak yetebilir.

(Adimlari azalan) adim fonksiyonlari ters ornek olabilir bu durumda.

Gerci artanlik kosulu da vardi, onu es gecmisim.

Artan olmasa olmaz mı? Azalmayan olsa mesela.

Olur. Aslinda ilk yazarken kastim oydu. Hatta sadece $\sup A$ noktasinda soldan sureki olsa da yeterli.

...