$\mathbb{Q}[x]$'in asal idealleri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
179 kez görüntülendi

$\mathbb{Q}[x]$'in asal idealleri nelerdir?

26, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,208 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$\mathbb{Q}$ cisim oldugu icin $\mathbb{Q}[X]$ esas ideal halkasidir ve asal idealler indirgenemez elemanlar tarafindan uretilir. Indirgenemez elemanlar da maksimal ideal tanimlarlar. Bu nedenle $\mathbb{Q}[X]$ halkasinin her asal $I$ ideali  $\mathbb{Q}$ cisminin cebirsel bir genislemesini verir: $$\mathbb{Q}[X]/I\hookrightarrow\overline{\mathbb{Q}}$$ Eger iki asal ideal ayni degilse tanimladiklari genisleme de ayni olmayacaktir. Burada suna dikkat etmek gerek. Yukaridaki gomme iyi tanimli degil, bir secime bagli. $I$ idealini ureten polinomun her koku icin boyle bir gomme var. Bu yuzden yukaridaki cismi, secimden bagimsiz hale getirmek icin $I$ idelini ureten polinomun, $p(X)$ diyelim, parcalanis cismiyle degistirelim. Boylece her asal ideal icin bir genisleme bulduk. Ya da baska bir deyisle, birbiriyle eslenik bir eleman kumesi: $$\{\text{$p(X)$ polinomunun kokleri}\}$$ Yani asal idealleri $\overline{\mathbb{Q}}$ cisminin "noktalariyla" esleyebiliyoruz. Tam olarak noktalarla degil de, birbiriyle eslenik olan noktalar kumeleriyle. O halde $$Spec(\mathbb{Q}[X])=\overline{\mathbb{Q}}/Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$$ Hatta ayni mantik reel sayilar icin de isleyecektir. Reel sayilarin cebirsel kapanisi karmasik sayilardir ve bu genislemenin Galois grubu iki elemanladir: Birim otomorfizma ve kompleks eslenik operasyonu. Yukaridaki mantikla eslenik elemanlari birbirine yapistirirsak reel sayilar uzerine asal idealleri karakterize etmis oluruz.
4, Mart, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

Belirli bir sekilde nasil yazilir hicbir fikrim yok.

Bu kume numaralandirilamaz herhalde?

Numaralandirilabilir cunku cebirsel elemanlar sayilabilir. Cunku polinomlar sayilabilir. Hatta sonsuz bir cismin cebirsel kapanisiyla kendisi ayni kardinalitededir savini ispatlamak zor degil. Hatta bu sav kendinden buyuk esit ilk limit ordinale esittir diyerek sonlu cisimleri kapsayacak hale getirilebilir herhalde.

evet, haklisin.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şu bağlantıyı incelemek yeterli: Spec($\mathbb{R}[X]$) kümesi nelerden oluşur?

3, Mart, 2015 Enis (1,072 puan) tarafından  cevaplandı

Bence değil. Hatta diğeri için bu soru incelenilebilir.

...