Question

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}$ limitini hesaplayınız..

Answer 1

$a_{n}=1+\dfrac {1} {2}+\ldots \ldots +\dfrac {1} {n}$
$b_{n}=\ln n$  olarak alalım. $\left( b_{n}\right) $  kesin aratan bir dizi ve $\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\infty $

$\dfrac {a_{n+1-}a_{n}} {b_{n+1}-b_{n}}=\dfrac {\dfrac {1} {n+1}} {ln\left( \dfrac {n+1} {n}\right) }=\dfrac {1} {ln\left( 1+\dfrac {1} {n}\right) ^{n}\left( 1+\dfrac {1} {n}\right) }$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n+1}-a_{n}} {b_{n+1}-b_{n}}=\dfrac {1} {\ln e}=1$  Dolayısıyla    $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n}} {b_{n}}=1$

Not: http://matkafasi.com/2232/lim_-infty-right-textrm-infty-frac-sqrt-oldugunu-gosteriniz Hocam burada uyguladığınız yolu izledim. 

Answer 2

$\int_1^n \frac{dx}{x}$ integrali için yazacağımız $\Delta x=1$ için gelen Riemann toplamından

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \ln(n) > \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} = -1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

olduğunu biliyoruz. Demek ki

$$ 1 > \frac{\ln(n)}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}} > 1 - \frac{1}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} }$$

Şimdi, $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ sonsuza gittiğini biliyoruz. Sıkıştırma Teoremi'nden dolayı

$$ \lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n)}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}} = 1$$

olur.