Site kurallarında bugüne kadar olan kurallar bütün olarak "Soru Sor" sayfasında maddeler halinde yazılmıştır.Ortaöğretim kategorisindeki düzensizlikler bu sayede giderilmeye çalışılacaktır, sorulacak sorular çok nitelikli ve çok iyi açıklamalı olmalı, yoksa kaldırıl(abil)ir.

Şimdi Sor!

İletişim İçin;

Anıl Berkcan Türker

E.Sercan Yılmaz

Çağan Özdemir

$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in karekökleri

2 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

Gösteriniz ki $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in sonsuz çoklukta karekökü vardır.

15, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,056 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$\sqrt{n}\otimes \frac{1}{\sqrt{n}}$, $n$ tam kare olmayan herhangi bir pozitif tamsayi.

15, Eylül, 2015 Safak Ozden (3,226 puan) tarafından  cevaplandı

Bir başka yorum da eklendi.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şöyle küçük bir açıklama yapmakta fayda var. Biliyoruz ki $$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\cong \mathbb{R}[X]/(X^n-2)$$ şeklinde bir $\mathbb{R}$-cebri izomorfizmamız var. Şimdi $\mathbb{Q}$-doğrusal olan $\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\hookrightarrow \mathbb{R}$ gömmesini, $\mathbb{R}$-doğrusal olan $$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\hookrightarrow \mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$$ gömmesine genişletelim. Açık ki bu gömme çarpmayı da koruyor. Bu demek ki $ \mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$  halkası, $\mathbb{R}[X]/(X^n-2)$ halkasına izomorfik olan bir halka içermeli. 

Eğer $n$ tekse, $X^n-2$ polinomu $\mathbb{R}[X]$ içinde $1$ tane doğrusal faktöre, $(n-1)/2$ tane de ikinci dereceden indirgenemez faktöre sahip. Bu durumda, $\mathbb{R}$-cebri olarak, $$\mathbb{R}[X]/(X^n-2)\cong \mathbb{R}\times \mathbb{C}^{(n-1)/2}$$ şeklinde bir izomorfizmamız var. O halde, $\mathbb{R}[X]/(X^n-2)$ halkası $2^{1+(n-1)/2}=2^{(n+1)/2}$ tane $1$'in karekökünü içermeli.

Demek ki $n\to\infty$ iken $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in sonsuz tane karekökü var.

16, Eylül, 2015 Enis (1,056 puan) tarafından  cevaplandı
17, Eylül, 2015 Enis tarafından düzenlendi
...