$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [2n+1] {n^{2}+n}=1$

Question

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\lim_{n\to\infty}(n^2+n)^\frac{1}{2n+1}=y$

Her iki tarafında Ln'nini alırsak.

$\lim_{n\to\infty} \frac{ln(n^2+n)}{2n+1}=lny$ gelir.

Burada n yerine sonsuz yazarsak.$\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliği gelir.

Bir kere L'Hopital uygulanırsa.

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n+1}{n^2+n}}{2}=lny$ gelir.

$\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n^2+2n}=lny$ ifadesin n yerine sonsuz yazarsak.Paydanın derecesi paydan büyük olduğu için sonuç sıfır gelir.

0=lny ise y=1'dir.

Comments

Dizilerde L'h uygulanmaz. Gercel fonksiyona cevirip islem yapilabilir.

Answer 2

1. $n^{1/n}$ azalandır.

İspat:

$\forall n$

$n>\left(1+1/n\right)^n$ olduğunu ispatlamalıyız bu da $\left(\left(1+1/n\right)^n\right)_n$ dizisinin azalan olmasından çıkar.

2. $n^{1/n}$ alttan sınırlıdır.

İspat: $0$ bir alt sınırdır.

3. $n^{1/n}$ dizisi yakınsaktır.

İspat: Sınırlı ve monoton diziler yakınsaktır. 

4. $n^{1/n}=1$ dir.

İspat:

Yakınsak dizilerin altdizileri de aynı limite yakınsar, dolayısıyla $a>1$ bir tamsayı olmak üzre;

$\lim a^{1/n}=1$ olmalıdır, Çünkü $\lim a^{2n}=x^2=\lim a^n=x$, $x=1,0$ gelir $x=1$ olur.

Çünkü $a^{n+1}>a^n>1$

Aynı mantıkla,

$n^{1/n}$'in $1$'den büyük eşit limiti olmalı çünkü, azalan olduğundan $n>\left(1+1/n \right)^n$ bu eşitsizliği sağlar.

$\lim (2n)^{1/2n}=\lim \underbrace{\sqrt 2^{1/n}}_1 \underbrace{(n^{1/n})^{1/2}}_{x^{1/2}}=\sqrt x=\lim n^{1/n}=x$

Buradan da $\lim n^{1/n}=x=1$ gelir.

Dolayısıyla Sandviç teoremi gereği, limitin $1$ olduğu görülür.

$$\boxed{1=\left(\lim (2n+1)^{\frac1{2n+1}}\right)^3>\lim (n^2+n)^{\frac1{2n+1}}>\lim (2n+1)^{\frac1{2n+1}}=1}$$

Comments

Son islemler $1>1$ diyor?