$\sin \theta . \dfrac {d^{2}y} {d\theta ^{2}}+\cos \theta .\dfrac {dy} {d\theta }+\sin \theta . y. \left( 2n +n\left( n-1\right) \right)=0$

Question

nasıl çözülebilir? bir kısmi diferansiyeli çözmeye çalışırken karşılaştım, pek alışkın olduğum tiplerde değil, aklıma kuvvet serileriyle $\cos \theta$ ve $\sin \theta$'yi açıp kuvvet serileri şeklinde bir çözüm olduğunu düşünüp çözmek geldi ama emin değilim, uygun mudur?

edit: yanlış düzenlemişim $\sin \theta$ parantezin dışında olacakmış

edit: $y''$'nin başında da $\sin \theta$ olacakmış

Answer 1

legendre diferansiyel denkleminde özel durumunun, $x=\cos \theta$ dönüşümü uygulanmış hali imiş yazdığım denklem, onun çözümü de bilindik, birinci ve ikinci legendre fonksiyonu türünde,

$y=c_1.P_n( \cos \theta)+c_2.Q_n(\cos \theta)$